II. — COURBURE ET TORSION. — DÉVELOPPÉES

indépendante Pare s de l'; le plan normal a- pour équation (26) ART) +R(Y—y)+y(Z—3)=0, et la caractéristique est définie par les équations (26) et (25)

(27) RO 2) + ÉC—y) L (Ze) ro

La nouvelle équation représente un plan perpendiculaire à la normale principale et passant par le centre de courbure. L’'intersection de ces deux plans est donc la droite polaire. On voit d’après cela que le centre de courbure coïncide avec le centre du cercle osculateur (n° 221), et par suite que le cercle de courbure se confond avec le cercle osculateur. Ce résultat pouvait être prévu & priort, car deux courbes ayant un contact du second ordre ont même cercle de courbure, puisque y, z/, y”, 3° ont les mêmes valeurs pour les deux courbes. |

La surface réglée, lieu des droites polaires, est la surface polaire. D'après ce qu’on vient de démontrer, c’est aussi la surface développable enveloppe du plan normal à F. Lorsque la courbe F est une courbe plane, la surface polaire est le cylindre ayant pour section droite la développée de F, et les propriétés précédentes deviennent évidentes.

231. Torsion. — En remplaçant dans la définition de la courbure la tangente par le plan osculateur, on est conduit à un nouvel élément géométrique qui mesure en quelque sorte la façon plus ou moins rapide dont tourne le plan osculateur. Soit w’ l'angle des deux plans osculateurs aux deux points infiniment voisins M

arc MM’?

lorsque le point M’ se rapproche indéfiniment du point M. Le

rayon de torsion T est l’inverse de la torsion.

et M’; on appelle torsion au point M la limite du quotient

Menons par le point M une perpendiculaire au plan osculateur et, sur cette droite appelée bénormale, adoptons une direction déterminée (que nous fixerons plus tard), de cosinus 4”, 8, Ÿ' La parallèle menée par l’origine perce la sphère de rayon un en un point », que nous ferons encore correspondre au point M der.

Le lieu du point x est une courbe sphérique 6, et l’on montre, comme plus haut, que le rayon de torsion T peut encore être

défini comme la limite du rapport des deux arcs infiniment petits correspondants, arc MM', arc nn! des deux courbes T et 6. On a donc

ds?

— dr??

z désignant l'arc de la courbe 0.

Les coordonnées du point » sont «”, 8", y", c’est-à-dire

L A a B l ë (0 MERS > per me nent Re EVA GG | LÆVAT FRIC:

NU ————————— >; + yA?+B2+ C7?

le radical étant pris dans les trois formules avec le même signe. On déduit de là les valeurs de dx’, dB", dy’; on a, par exemple AP, aY ; ) )

ar (A+ Bt-+ CE) dA — A(A dA + B dB + CaC),

et la formule dr? = da”? + dR"2 + dy"? nous donne

dr? —

ou. en emplovant de nouveau l'identité de Lagrange Ù Pp10Y grange;

12 (BdG— C dB} + (CG dA — A dG}+ (A dB — B dA}? (ie (A2+ B2+ C2}?

On peut simplifier le calcul du numérateur en utilisant les relations Adx+ Bdy+ Cdz=o,

dA dx + dB dy + dG dz= 0, d’où l’on ture dx dy dz I

(28) FACLLC dB CdA = A dc A ABB dE

et il vient K2 ds?

MERE ARS Ar 0 HPNAEDiI CE)

Quant à la valeur de K, on a, en développant, PU (dzd?x—dx d?z)(dx d'y —dy dix)—( dx d?y—dy d?x)(dz d'x—dx dés) #} dx — dz dx By — dx d'z3 dy + dy dd: dx — dy dz dix + dx d'y di: — dy d'x d;;

II. — COURBURE ET TORSION. — DÉVELOPPÉES. 567 le second membre n’est autre chose que le QXSIODHAMENT du déterminant A [ (n° 225), formule (8) |. On a donc

A ds A2+ B2+ C2

ARR et, par suite,

Fi) mont BI CF?

Si l’on considère le rayon de torsion T comme une quantité essentiellement positive, de même que le rayon de courbure, on prendra pour T la valeur absolue du second membre. Mais il est à RER RquEr ue RAR obtenue est rationnelle en x’, x”, x" V, y", Y", 3, 3, 3". Il est donc naturel de considérer le rayon de torsion comme une longueur affectée d’un signe. Les deux signes correspondent à des dispositions entièrement différentes de la courbe T dans le voisinage du point M.

Le signe de T ne dépendant que du signe de A, TO tel comment varie la disposition de la courbe avec ce signe. Nous supposerons que le trièdre Oxyz est disposé de telle façon qu’un observateur debout sur le plan des xy, les pieds en O et la tête en Z, verrait l'axe Ozx tourner de 90° de droite à gauche pour coïncider avec Oy. Cela étant, choisissons sur la A AE une direction MN; telle que le re (MT, MN, MN3) ait la même disposition que le trièdre Oxzyz. Si l’on fu la courbe F d’une, manière continue de facon à amener le point M en O, MT sur Oz, MN sur Oy, la direction de MN, viendra coïncider avec Oz. Dans ce mouvement, la valeur absolue de T reste la même; donc A ne peut s’annuler et, par suite, conserve un signe constant (1). La courbe T étant rapportée à ce nouveau système d’axes de coordonnées, supposons que la valeur £— 0 du paramètre corresponde à l’origine; les coordonnées d’un point voisin auront des expressions de la forme suivante

æ = dt+l(a+E), (30) M1 bat2+ 13(b3+E€ ), z=ti(c;3+e),

(2) Il est du reste facile de démontrer, par un calcul direct, que À ne change pas quand on passe d’un système d’axes rectangulaires à un autre système d'axes rectangulaires de même disposition.

e,e/', e” élant infiniment petits avec {; en effet, dans le système

d’axes choisi, on doit avoir pour 4—0,dy = dz = d°5 =0. On peut supposer &, >> 0, car 1l suffirait de remplacer € par — € pour changer a, en — à, ; b, est positif puisque y doit être positif pour les valeurs de £ voisines de zéro, mais c; peut être positif ou négalif. Or on a, pour t— 0, A — 12 a, b,c3 dit, de sorte que A ale

Fig. 4x a. Fig. 41 b.

signe de c;. Cela posé, deux cas sont à distinguer, suivant le signe de c;: 1° sic; > 0,æ et 3 sont négatifs lorsque t varie de —Aào et positifs lorsque & varie de o à + h ( étant un nombre positif très petit). Un observateur debout sur le plan osculateur, les pieds en un point P de la normale principale, verrait Pare MM'à sa gauche au-dessus du plan osculateur et l’arc MM” à droite audessous du plan osculateur (fig. 41 a). La courbe est donc dexrorsum (1). On aurait la disposition inverse ( fig. 41 b) si 3 était

négatif ; la courbe serait sinistrorsum. Ges deux dispositions sont,

obsolument distinctes l’une de l’autre. Par exemple, deux hélices de même pas, tracées sur deux cylindres de révolution de même rayon, sont superposables si elles sont toutes les deax dextrorsum ou sinistrorsum; mais, si l’une est dextrorsum et l’autre sinistrorsum, l’une d'elles est superposable à la symétrique de Pautre par rapport à un plan.

Nous écrirons désormais la formule qui donne la torsion NAN "(0

(31) VÉRANNTN TD

en un point où T est positif, la courbe est sinistrorsum, et dex-

() Avec cette convention, la vis ordinaire est dextrorsum, ce qui est assez naturel. Voir à ce Sujet, un article de M. Alezais dans les Nouvelles Annales de Mathématiques, 4° série, t. X, 1910, p. 280.