NN RAR L

port se réduit à l'inverse — du rayon de courbure de la section droite C, ps

comme il est facile de le vérifier (n° 228). La formule précédente peut donc s’écrire R—r(1+K?), ce qui montre que le rayon de courbure d’une hélice est dans un rapport constant avec le rayon de courbure de la courbe C.II est facile de déduire de là toutes les courbes pour lesquelles R

JE et T sont constants. En effet, le rapport & étant constant, ces courbes sont

des hélices, d’après le théorème de Barré de Saint-Venant et J. Bertrand. De plus, R étant constant, il en est de même du rayon de courbure r de la courbe C. Cette courbe G est donc une circonférence, et La courbe cherchée est une hélice tracée sur un cylindre de révolution. Gette proposition est due à M. Puiseux (1).

937. Courbes de M. J. Bertrand. — Les normales principales à une courbe plane sont en même temps les normales principales d’une infinité d’autres courbes planes, parallèles à la première. M. J. Bertrand s’est proposé de trouver les courbes gauches dont les normales principales sont aussi les normales principales d’une seconde courbe gauche. Supposons les coordonnées +, y, 3 d'un point exprimées en fonction de l’arc s; sur chaque normale principale, portons une longueur /, et soient X, Ÿ, Z les coordonnées de l’extrémité

(45) X=x+la, ! Y=y IRNONLERRSSSS

Pour que la normale principale à la courbe T soit aussi la normale principale à la courbe T' décrite par le point (X, Y,Z), il faut et il suffit que l’on ait les deux relations

x dX+B'dY + dZ = 0, a'(dY dZ.— dz d'Y)+f$'(dZ d?X— dX d’Z) + y'(adX d’'Y —dY d’' X)=0o

dont la signification est bien claire. On tire de la première dl = 0, ce qui prouve que la longueur doit être constante. En remplaçant ensuite dans la seconde dX, d?X, dY, ... par leurs valeurs déduites des formules de Frenet et de celles qu’on obtient en les différentiant, il reste, toutes réductions faites,

() La démonstration suppose qu’il s’agit de courbes réelles, car on a supposé plus haut que A2+ B?+ C? n'était pas nul (voir la Thèse de M. Lyow, Sur les courbes à torsion constante, 1890).

II. — COURBURE ET TORSION. — DÉVELOPPÉES. 581 et l’on en tire, en intégrant, la relation

(46) ro