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l' désignant une nouvelle constante. Les courbes cherchées sont donc celles pour lesquelles il existe une relation linéaire entre la courbure et la torsion. On voit de plus que la condition est suffisante et la longueur / est donnée par la relation (46) elle-même,

Un cas particulier remarquable avait déjà été étudié par Monge; c’est celui où le rayon de courbure est ‘constant. La relation (46) devient alors / — R, et la courbe [’ représentée par les formules (45) est le lieu des centres de courbure de la courbe T. Des formules (45) on tire, en supposant / = R = const.,

7 R n R " dX —=——u" ds, dY=— TR ds, dL=— 7% ds,

ce qui montre que la tangente à la courbe T' est la droite polaire de Fr, Le rayon de courbure R’ de l’est donné à son tour par la formule dX?+ dY?+ d2?

st tm 2:

RER apr dus

on voit que ce rayon de courbure est aussi constant et égal à R, et il y a réciprocité entre les deux courbes T, l'; chacune d’elles est l’arête de rebroussement de la surface polaire de l’autre. Toutes ces propriétés sont faciles à vérifier directement sur l’hélice circulaire.

Remarque. — Il est facile d’avoir des formules générales représentant toutes les courbes gauches dont le rayon de courbure est constant et égal à R. Soient «, B, y trois fonctions d’un paramètre variable satisfaisant à la relation a? + f2+ y2= 1. Les formules

(47) X=R fx ds, Y=R /Bas, L=R [ras

où l’on a posé do — da? + d8?+ dy?, représentent une courbe répondant à la question, et il est aisé de démontrer qu’on les obtient toutes de cette façon. En effet, «, 8, y sont précisément les cosinus directeurs de la tangente, et cest l’arc de l’indicatrice sphérique (n* 227).

938. Sphère osculatrice. — Nous’appliquerons encore les formules de Frenet à la détermination de la sphère osculatrice. Supposons les coordonnées x, y, z d’un point de la courbe T exprimées en fonction de l’arc s de cette courbe. Pour que la sphère de centre (a, b, c) et de rayon p ait un contact du troisième ordre

avec la courbe F en un point 0e de cette courbe, il faut et il

suffit que l’on ait f(s) = 0, F'(s) = 0, f"(s)= 0, $"(s)=0,

n posant S(s)= (x — a) +(y—0) + (se) ps

Æ, Y, 3 étant supposés exprimés en fonction de s. Les trois dernières conditions développées s’écrivent, en appliquant les formules de Frenet,

ST eme +(s—c) + +I1= 0,

EE area ET Den Po HER (R+5) R R*T) DURE TN AT AR NE EE — DRE R (+5) - RE [(x — a)L'+(y ))B+(z Ch leo!

Ces trois équations déterminent a, b, c. Or la première représente, quand on y regarde a, b, c comme les coordonnées courantes, le plan normal à la courbe au point (x, y, =), et les deux autres s’en déduisent en différentiant par rapport au paramètre variable s; le centre de la sphère osculatrice coïncide donc avec le point où la droite polaire touche son enveloppe. Pour résoudre ces trois équations, observons que la dernière peut s’écrire, en tenant compte des deux autres,

dR (æ—a)x"+(y — b)B"+(z FT ONE et l’on en üre facilement a=z+Ra—TA a" “ b—=y+RBp DE dR ur c= 3+Ry—T —- 1

le rayon 0 de la sphère osculatrice est donné par la formule

dR 2 RIT: p R T (S)-

Si R est constant, le centre de la sphère osculatrice coïncide avec le centre de courbure; ce qui est bien d’accord avec le résultat obtenu à la fin du n° 237.

4. Trouver en termes finis les équations des développées de la courbe qui coupe sous un angle constant les génératrices rectilignes du cône cir-

culaire droit; discussion.

[Licence : Marseille, juillet 1884.]

2. Existe-t-il des courbes gauches l telles que les points de rencontre d'un plan fixe P avec la tangente, la normale principale et la binormale soient les sommets d’un triangle équilatéral?

3. Soit FC l’arête de rebroussement d’une surface enveloppe de sphères (enveloppe des cercles caractéristiques); la courbe qui est le lieu du centre de la sphère variable est située sur la surface polaire de T. Réciproque.

4. Étant donnée une courbe gauche F, par un point fixe O de l’espace on mène une droite parallèle à la droite polaire en un point M de TF, et l’on porte sur cette droite une longueur ON égale au rayon de courbure de T au point M. Le point N décrit une courbe gauche T', qui correspond à la courbe l”, lieu des centres de courbure de l, avec égalité et orthogo-

nalité des éléments linéaires.

[RouQuET.]

5. Si le rayon de la sphère osculatrice à une courbe gauche T a une longueur constante a, cette courbe est située sur une sphère de rayon @, à moins que le rayon de courbure ne soit constant et égal à a.

6. Pour que le lieu des centres de courbure d’une hélice tracée sur un cylindre soit une autre hélice tracée sur un cylindre dont les génératrices sont parallèles à celles du premier, il faut et il suffit que la section droite de celui-ci soit un cercle ou une spirale logarithmique. Dans le dernier cas, ces hélices sont situées sur des cônes de révolution.

| Tissor, Nouvelles Annales, t. XI, 1852.}

7*. Si deux courbes gauches admettent les mêmes normales principales, les plans osculateurs de ces deux courbes aux points où elles coupent une même normale font un angle constant. Ces deux points et les centres de courbure des deux courbes déterminent quatre points dont le rapport

anharmonique est constant. Le produit des rayons de torsion des deux courbes aux points correspondants est constant.

[| Paul SERRET, MANNHEIM, SCHELL.]

8. Soient æ, y, z les coordonnées rectangulaires d’un point d'une courbe gauche T, s l'arc de cette courbe. On appelle courbe adjointe le courbe T, dont les coordonnées ont pour expressions

et courbes associées les courbes représentées par les équations X = x cos0 + x, sin6, Y= y cosû + yosin8, Z = 3 cos0 + z, sinb,

où 6 est un angle constant. Trouver la disposition du trièdre fondamental pour ces nouvelles courbes, ainsi que les rayons de courbure et de torsion.

S1 la courbe T est à courbure constante, la courbe FT, est à torsion constante, et les courbes associées sont des courbes de M. Bertrand. En déduire les équations générales de ces dernières courbes.

9*. Trouver les courbes l situées sur une quadrique de révolution S, dont

la tangente en chaque point fait un angie constant avec la parallèle à l’axe menée par ce point. Étudier les formes diverses de ces courbes suivant la nature de la quadrique. Montrer que ces courbes coupent aussi sous un angle constant les génératrices des cônes ayant T pour directrice, et pour sommets les foyers de la méridienne situés sur l’axe. Si S est un cône de révolution, on a l’hélice cylindro-conique ordinaire. (Voir PiroN- DiNt, Journal de Crelle,t. 118, 1897, p.61; G. Scaerrers, Leipzig Berichte, 1902, p. 369; E. CEsaro, Rendiconti di Napoli, 1903, p. 73.) Si la courbe d'intersection F de deux cônes de sommets S, S', coupe sous des angles constants les génératrices de ces deux cônes, elle coupe aussi sous un angle constant les génératrices d’un troisième cône ayant pour sommet un point S” situé sur la droite SS’. La courbe T est située sur une surface de révolution dont la méridienne est une ovale de Descartes, et les points S, S', S'sont les foyers de cette courbe.

(CEsaro, Zbid.)

10. Pour qu’une droite invariablement liée au trièdre fondamental d’une courbe gauche l, et passant par le sommet du trièdre, engendre une surface développable, il faut que cette droite se confonde avec la tangente, à moins que la courbe T ne soit une hélice. Dans ce cas, il y a une infinité de droites répondant à la question.

Pour une courbe de M. Bertrand, il existe deux paraboloïdes hyperboliques, invariablement liés au trièdre fondamental, dont toutes les géné— xatrices engendrent des surfaces développables.

[ Cesaro, Rivista di Matematica, t. II, 1892, p. 155.]

11*. Pour que les normales principales d'une courbe gauche soient les binormales d'une autre courbe gauche, on doit avoir entre le rayon de courbure et le rayon de torsion une relation de la forme

I I B A (+) CRT

À et B étant des constantes.

[MaANNHEIM, Comptes rendus, 1877.

Les cas où une droite menée par un point d’une courbe gauche, et invariablement liée au trièdre fondamental, reste la normale principale ou la binormale d’une autre courbe gauche ont été étudiés par Pellet (Comptes rendus, mai 1887), par Cesaro (Nouvelles Annales, 1888, p. 147), par Balitrand (Mathesis, 1894, p. 159).

12. Si le plan osculateur à une courbe gauche T reste tangent à une sphère fixe, de centre O : 1° le plan mené par la tangente, perpendiculaire à la normale principale, passe par le point O ; 2° le rapport du rayon de courbure au rayon de torsion est une fonction linéaire de l'arc. Réciproques.

43. La projection sur un plan P d’une courbe gauche T, parallèlement à la tangente MT en un point M de cette courbe, a un point de rebroussement au point »m projection de M, et la tangente de rebroussement est la trace sur le plan P du plan osculateur en M à la courbe T. Cas où le plan osculateur en M est stationnaire.

14*. En chaque point M d’une courbe T on mène une normale, faisant un angle variable & avec la normale principale, sur laquelle on porte une longueur:constante MM'=— /. La courbe C’ décrite par le point M’ est normale à la même droite M'M. Déterriner l’angle © de façon que les tangentes aux deux courbes G, C', aux points correspondants M, M’, fassent un angle

constant V. Cas particulier où V = —:

( É ; ù En prenant pour inconnue tang —; on obtient une équation de Riccati. [DarBoux, Comptes rendus, t. CXLVI, 1908, p. 881.] 15. Trouver la partie principale de la plus courte distance de deux

normales principales infiniment voisines, et la position limite du pied de la perpendiculaire commune.