COURBURE DES COURBES TRACÉES SUR UNE SURFACE
les coefficients À, B, C doivent satisfaire aux deux relations Mis d ; (5) SA — — 0, SA — = 0,
ou
où le signe S a une signification évidente. On déduit de ces relaions
K DC: 5) Be bee 7) c-KP(r r)
(4) Las Du, v) "D(u, ») vb)’ Dé dt PRE
K étant un facteur constant ou variable, qu’on peut choisir à volonté (1). Si, par exemple, la surface est représentée par une équation z=— F(x, y), on poseraxæ=u,y—+v, K——:1, et les valeurs correspondantes de A, B, C sont A=p,B—gq, C——1, P et q ayant la signification le
S1 l’on remplace, dans les équations (1), et 6 par des fonctions d’une variable x, le point (x, y, 3) décrit une courbe l située sur S, et les paramètres directeurs de la tangente à cette courbe sont proportionnels à
; dv Te AL à chaque valeur du rapport 7 correspond ainsi une tangente déter-
minée de la surface au point (u, 6), dont il serait facile de calculer les cosinus directeurs. Tout le long de la courbe F, les différenelles dx, dy, dz vérifient là relation
(5) À dx + B dy + Cds = 0,
qui exprime ARIANE que la tangente à la courbe F est située dans le plan tangent à la surface. En égalant à zéro la différenuelle totale du premier membre de cette relation (n° 39), on obtient une
(:) Il est clair qu'on pourrait convenir de fixer une fois pour toutes le facteur K, prendre par exemple K ==#1. Mais il y a avantage, en vue des applications, à laisser ce facteur indéterminé, afin de pouvoir le choisir dans chaque cas particulier de façon à simplifier, si c’est possible, les expressions des coefficients A, B, C.
relation entre les différentielles du second ordre de x, y, 3,
(6) A dr+Bdy+Cdz+ dA dx + dB dy + dG dz = 0,
dont nous allons donner la signification géométrique. Remarquons d’abord que dA dx + dB dy + dCdz est une forme quadratique en du, dv,
(7) dA dx + dB dy + dG dz = D du? + 2 D' du dv + D" dv?,
dont les coefficients D, D’, D’ se déduisent par des différentiations des expressions de æ, y, 3, À, B, C.
D'autre part, Ad?x + Bd?y + Cd?: représente, à un facteur près, le cosinus de l’angle des deux droites dont les paramètres directeurs sont respectivement (A, B, C) et (d?x, d'y, d?3). La droite dont les paramètres directeurs sont A, B, C est normale à la surface ; nous adopterons pour direction positive de cette normale celle dont les cosinus directeurs sont
à — À — B — C Sn —————— PS | Po, ES VA?+ B?+ C? k V'A2+ B2+ C2? V A2+ B? + C:
D'ailleurs, si l’ou prend pour variable indépendante l'arc s de la courbe l', on a
a!, 8", +, R ayant la signification habituelle (n° 232). En divisant tous les termes de la relation (6) par ds?, elle peut donc s’écrire
D du? + 2 D' du dv + D" dr?
E du? 2F du de + G dv? ?
R Ca + pB + vy) =
E, F, G étant les coefficients de Gauss qui figurent dans la formule ds? = Edu? + 2Fdude + Gdv?(n° 1351).
Or Ax + us +vy — cos, en appelant 4 l’angle que fait la normale principale à la courbe T avec la direction posilive de la normale à la surface et nous arrivons ainsi à la formule fondamentale
La VA?+ B2+ C2 ANS D du? + 2 D' du de + D" de? 9 R ST Edu+o2} du dv + G dv?”
qui est complètement équivalente à la formule (6). Dans cette
