I. — COURBURE DES COURBES TRACÉES SUR UNE SURFACE

relation, le radical VA? + B2+ C? et le rayon de courbure R sont essentiellement positifs, de sorte que cosô est du même signe que

le second membre. Pour un système donné de valeurs de « et de », dv du la position de la tangente au point M à la courbe F. Soient T’ une

autre courbe de la surface tangente au point M à la première,

ce second membre ne varie qu'avec le rapport —; c’est-à-dire avec

R' son rayon de courbure et 4! l'angle de sa normale principale avec la direction positive de la normale à la surface. Le second membre de la formule (9) a la même valeur pour les deux courbes et l’on a, par conséquent,

cos cos 0’ ME HAE U

Considérons en particulier deux courbes F et F” de la surface ayant au point M le même plan osculateur (différent du plan tangent}. Il est clair que ces deux courbes ont la même tangente au point M, l'intersection du plan tangent avec le plan osculateur. On peut donc leur appliquer la relation (10). Mais les directions des deux normales principales sont les mêmes ou sont opposées ; on a donc 4 — 4, ou W— + — 4. La dernière hypothèse est à rejeter paisque cos et cos! ont le même signe; donc Q— 4, et par suite

/—R. Les deux courbes F et T’, ayant même direction de normale principale et même rayon de courbure, ont le même centre de courbure. Ainsi, toutes les courbes de la surface passant au point Met ayant en ce point le même plan osculateur (autre que le plan tangent) ont ausst le méme centre de courbure. En particulier, toute courbe a le même centre de courbure que la section plane faite dans la surface par son plan osculateur.

Il suffit donc d'étudier la courbure des sections planes de la surface passant au point M. Nous étudierons d’abord comment varie la courbure des diverses sections planes dont les plans passent par une même tangente MT. On peut supposer, sans nuire à la généralité, qu’on a pour cette tangente |

D du? + 2 D' du de + D" de? > 0,

car, si l’on change le signe de A, B, GC, ce qui change la direcuon positive de la normale à la surface, il est clair que D, D', D’ changent de signe également. Pour toutes ces sections planes;

cosô est positif et l'angle 8 est aigu ; en particulier, pour la section normale passant par MT, l'angle 8 est nul. Soit R! le rayon de courbure de cette section normale ; la relation (10) devient dans ce cas À — R' cos. Cette égalité exprime, on le voit aisément, que le centre de courbure de la section oblique est la projection orthogonale du centre de courbure de la section normale, qui a la même tangente, sur le plan de la section oblique (théorème de Meusnier).

Ce théorème ramène l'étude de la courbure d’une section oblique à l’étude de la courbure d’une section normale. Nous exposerons tout à l'heure les résultats dus à Euler; nous observerons d’abord que, pour une section normale, la formule (9) prendra deux formes différentes suivant le signe de

D du? + 2 D' du de + D" de?.

Afin d'éviter cet inconvénient, nous conviendrons dorénavant de désigner par R le rayon de courbure d’une section normale affecté d’un signe, le signe + ou le signe —, suivant que la direction qui va du point M au centre de courbure coïncide avec la direction positive de la normale à la surface ou avec la direction opposée. Avec cette convention, R est donné dans les deux cas par la for-

mule VA2+ B?+ C: D du? + 2 D' du de + D’ dv?

(1) R "NE du? #96 du dE Car

qui fait connaître sans ambiguïté la position du centre de courbure.

De la formule (11) on déduit aisément la position de la surface par rapport à son plan tangent dans le voisinage du point de contact. Si l’on a D? -— DD" <o, le trinome D du? + » D'du do + D'dv? conserve un signe constant, celui de D et de D”, lorsque le plan sécant tourne autour de la normale ; toutes les sections normales ont leur centre de courbure du même côté du plau tangent, et sont par conséquent siluées du même côté de ce plan; on dit que la surface est convexe au point considéré. Au contraire, si l’on a D’? — DD" 0, le trinome D du? + 9 D' du dv + D" de? s’annule pour deux positions particulières du plan sécant; les sections normales correspondantes présentent un point d'inflexion. Lorsque le plan sécant est dans l’un des angles dièdres formés par ces deux