I. — COURBURE DES COURBES TRACÉES SUR UNE SURFACE. D

plans, R est positif, et la section est d’un côté du plan tangent; lorsque le plan sécant est dans l’angle dièdre supplémentaire, R est négatif et la section est de l’autre côté du plan tangent. La surface traverse donc le plan tangent dans le voisinage du point de contact ; on dit qu’elle est à courbures opposées. Enfin, si D? — DD" est nul au point considéré, toutes les sections planes normales sont d’un même côté du plan tangent, sauf l’une d’elles qui a un rayon de courbure infini et qui traverse en général le plan tangent; on dit que le point est un point parabolique.

Considérons, en particulier, une surface S représentée par l’équa- Honpa—h(x, y}S1 l'on prend A =p,.B—9g, C="7;;6na immédiatement D = 7, D'—5s, D'—4#, r, s, t ayant la signification habituelle. Les coefficients E, F, G ont les valeurs E = 1 + p?, F= pq, G—1+9?. La direction positive de la normale à la surface a pour cosinus directeurs

(12) A , (IEEE VPN E EN ie ete Vi+p?+ q° Vi+p?+ 9? Vi p?+ qg°

et fait un angle aigu avec O3. Soient x, $, y les cosinus directeurs de la tangente à la section normale au point M; du et de sont proportionnels à &, $, et la formule (11) devient

Es RAR ee nsap ep ) R (i+p?)at+upqas +(i+ g2)f?°

en tenant compte des relations y — pa + qB, 22+ 8? + =, 0n peut l'écrire plus simplement

Vi+p?+ g°

= ra?+2sañ+ 12.

C'est ici le signe du trinome ra?+ 2548 + 4 $? qui indique si une section normale est au-dessus ou au-dessous du plan tangent dans le voisinage du point de contact. La surface est convexe au point M, ou à courbures opposées, suivant qu’on à s°—7t<0, ou $2— rl > 0; on a un point parabolique si s?— rt — 0.

Il est facile de confirmer ces résultats en étudiant la différence à des coordonnées 3 et z' des deux points de la surface et du plan tangent quise projettent en un même point du plan des æy. Soient (x, Yo) les coordonnées du point de contact, Po, go, lo, 50, to les valeurs des dérivées de F(x,7) en

ce point. Nous avons

ù — F(&, ÿ) —polr = 25) = goy van

où 68 \ CREED 025 02 025 Ge), =" (rar), = 5 CR

Si s?— roto<0, à est maximum ou minimum au point M (n° 47), et, comme Ô est nul en ce point, à conserve un signe constant dans les environs; au contraire, Si s$ — roto > 0, il n’y a ni maximum ni minimum pour Ô qui, par conséquent, ne garde pas le même signe dans le voisinage du point M,

940. Les deux formes fondamentales. — L'étude qui vient d’être faite nous conduit à associer à la forme

ds? = E du?+ 2F du dv + G dv?

une nouvelle forme quadratique en du, dv, D du? + 2 D’ du de + D” de?.

D’après leur définition même, les coefficients D, D', D’ ont les valeurs suivantes :

OA 0x D = S— — D'= S — — D'=S— — pe EE, l'expression de D’ peut se simplifier en tenant compte des relations (3). En effet, si l’on différentie la première de ces relations par rapport à #, et la seconde par rapport à &, il vient

dx OÀ 0x dx oÀ 0x A PE re PU NO MER on à donc oÀ 0x OÀ 0x SE TU

el, par suite,

(14°) De Se

On peut aussi obtenir pour D, D’, D” des expressions où ne figurent que les dérivées des coordonnées x, y, 3. De l'identité (6),

ee L