RE VA2+ B?+ C

est, au signe près, indépendante de ce facteur K. Cette forme (17) a une signification géométrique très simple. Soit à la distance, prise avec un signe convenable, du point de la surface qui correspond aux valeurs uw + du et 6e + dv des paramètres, au plan tangent au point (w, »). Si l’on développe à suivant les puissances de du et de dv, les termes du premier degré disparaissent d’après les relations (3), et l’ensemble des termes du second degré en du et de est précisément

1 Adx+Bd?y + Cd?z 2 VAL BEC:

Ge, E, 38

È : I ae c'est-à-dire, au facteur — - près, la forme (15). La formule géné- | ml

rale (11), qui donne le rayon de courbure d’une section normale, peut donc s’écrire

I li (9) =. ALI =" R ds?

ce qui est bien d'accord avec un résultat déjà signalé (n° 249).

941. Théorèmes d’Euler. Indicatrice. — Pour étudier la variation en grandeur du rayon de courbure d’une section normale,imaginons qu’on ait pris pour origine ie point considéré de la surface et pour plan des xy le plan tangent à cette surface. On a, dans ce système d’axes, p — g — 0, et la formule (13) devient

1 L | (18) FE = rcos y + 2scose sin + £sin?e,

étant l'angle que fait avec Ox la trace du plan sécant sur le plan des æy. En égalantà zéro la dérivée du second membre, on trouve que R est maximum ou minimum pour deux directions rectangulaires. Afin d'étudier en détail la variation de R dans tous les cas particuliers possibles, ilest commode d'employer la représentation géométrique suivante. Imaginons que sur la trace du plan sécant on porte une longueur O m égale à la racine carrée de la valeur absolue du rayon de courbure: ce point m décrira une courbe appelée indicatrice, et il est clair que l'inspection de cette courbe supposée tracée fait connaître aussitôt la variation du rayon de courbure. Cela posé, examinons les trois cas possibles :

19 $2— rt oo. Le rayon RÀ a un signe constant ; nous le supposerons posilif. On a, pour les coordonnées du point m, € — VRcose,

n —/Bsine.et l'équation de la courbe cherchée est par conséquent f] ? , q P q

(19) r'Ethosér +tn°=1;

cetie courbe est une ellipse qui a pour centre l’origine. On voit que R est maximum lorsque la trace du plan sécant coïncide avec le grand axe de l’ellipse et minimum lorsque cette trace coïncide avec le petit axe, et que deux plans sécants dont les traces sont également inclinées sur les axes de l’indicatrice donnent la même valeur pour R. Les sections normales passant par les axes de l’in-

ee LS É