I. — COURBURE DES COURBES TRACÉES SUR UNE SURFACE
dicatrice s'appellent les sections normales principales et les rayons de courbure correspondants sont les rayons de courbure principaux. Si l’on a pris pour axes des æ et des y les axes mêmes de l’indicatrice, on a, dans ce système d’axes, s — 0, et la formule (18) devient
Fr r cos? + £ sin?® ;
les rayons de courbure principaux R, et R, s’obtiennent en faisant
: TO dd LE AGE « ? = 0,ou ad n a PET NT ni onde par suite, 2 tn?
co sin (20) I s" y in. R R; R>
2° $?— rl > 0. Les sections normales correspondant aux valeurs de l'angle ©, racines de l’équation
è à SALON T COS + 25 COSY SIN + é SIN°Y = O,
ont un rayon de courbure infini. Soient L' OL, , L, OL, les traces de ces deux plans sur zO y. Lorsque la trace du plan sécant est comprise dans l’angle L, OL, par exemple, le trinome est positif et, en employant la même représentation que dans le premier cas, on voit que la portion correspondante de l’indicatrice est représentée par l’équatron
rE+osEn + (in? =:1;
c'est une hyperbole ayant pour asymptotes les droites L! OL, et L,OL:. Lorsque la trace du plan sécant est comprise dans l'angle L,OL, on a R <o et, pour avoir la portion correspondante de l’indicatrice, on doit poser
E=y—Rcosv, n=Y—Rsiny,
ce qui conduit à l'équation de l’hyperbole conjuguée de la précédente TEL 2sEn + én = —:1.
L'ensemble de ces deux hyperboles conjuguées permet encore de se faire une idée de la variation du rayon de courbure d’une section normale. Si l’on prend pour axes de coordonnées les axes de
ces hyperboles, la formule générale (18) prend encore la forme (20), R, et R; désignant les deux rayons de courbure principaux, dont l'un est positif, l’autre négatif.
30 s2— 74 — 0. Dans ce cas, le rayon de courbure À conserve un signe constant, le signe < par exemple. L'indicatrice est encore représentée par l'équation (19); mais cette courbe, étant du genre parabole et ayant pour centre l'origine, se compose forcément de deux droites parallèles. Si l’on a pris l’axe des y parallèle à ces deux droites, on doit avoir dans ce système d’axes s —0, t— 0, et la formule générale (18) prend la forme |
É r cos?v,
ou R;—Rcos?v. On peut aussi la considérer comme un cas limite de la formule (20), obtenu en supposant que l’un des rayons de courbure principaux Ro devient infini.
Les formules d'Euler peuvent aussi s'établir sans avoir besoin de la formule préliminaire (13). Le point de la surface étant pris pour origine et le plan tangent pour plan des æy, on peut écrire, en poussant le développement de 3 par la formule de Taylor jusqu'aux termes du troisième ordre,
ra+252XY +iy?
Z EEE M RU NT Je +. ..
1.2 les termes non écrits étant du troisième ordre, ou d’ordre plus élevé. Pour avoir le rayon de courbure de la section faite par le plan y = x tang y, on peut faire d’abord la transformation de coordonnées
! He 4S RTS !
æ=% COS —Y SIN, Y=x'sSiny+y cosy,
et poser ensuite y'= 0, ce qui donne Île développement de z suivant les puissances de x” r cos?o + 2ssinp cos +ésin?® 4 À T FA 1.2
et, en appliquant la remarque du n° 219, nous retrouvons la formule (18).
Remarques. — La courbe d’intersection de la surface par son plan tangent, qui a pour équation
o= a+ 2s2xy +7? + pa(r, Y)+...,
présente un point double à l’origine, et les tangentes au point double sont
