GS UE. PPT RARE ET
par = i On déduit de la formule précédente
gn+1 f OxP+1 0y4 027
on+1 f ox? OA da
on+1 f de ra le à LÉ
dti w = Apr ( dæP+1 dy4 dz" + dx? dy1+1 dzr
si l’on remplace maintenant d2#1f par df"+#1, le second membre
peut s’écrire symboliquement
of" :: Sax ch :
ou encore Le ax + Lay UE : di PRTAUE Lay + Las).
a T 9x 0x dy
On a Lt avec les mêmes convenlions,
(+1) duriw = (2 LE de + Lay + À da ds) 40
Remarque. — Supposons que, par un moyen quelconque, on ait obtenu l'expression de la différentielle totale do,
(17) dw = P dr + Q dy +R dz,
P, Q,R étant des fonctions de x,y, 3. Comme on a par définition du) 0w
dw ps rl Re du à dx + mn dy + a de
on en déduit la relation
0x Fe
dw as d 2e
or dx, dy, dz sont, par convention, des constantes quelconques. Il faudra done qu’on ait séparément
dw ou 0w
18 — = P SH) 0x ÿ l'équation (17) est équivalente aux trois relations distinctes (18)et nous fait connaître à la fois les trois dérivées partielles du premier ordre. Plus généralement, si. l’on a obtenu, par un moyen quelconque, la différentielle totale d'ordre n
do = E Chyr dxl dy dzr,
les coefficients C,,, sont égaux, à des facteurs numériques près, aux dérivées partielles d'ordre nr de w. On a ainsi à la fois toules les dérivées partielles du même ordre; nous verrons un peu plus loin une application de cette remarque.
26. Différentielles successives d'une fonction composée. — Soit © = F(u,e,æ) une fonction composée, w, v, étant des fonctions des variables indépendantes 2, Y,23,t; écrivons les expressions des dérivées partielles du premier ordre :
du OF ou OF de doF 0w
0x Ou ox de pro ou) OF du 0F oo OF 9 9 du Y à dy 2m 97!
dw OF du . OF 06: OF 0 dé. ‘ou 0: dv os den ou) OF ou 0F dv OF 0 0f du dE | God Lowidr
En multipliant ces quatre équations par dx, dy, dz, du respecti-
vement et les ajoutant, on a au premier membre la différentielle
; Æe OF 0F 90F
Lotale dw, tandis que les coefficients de 2, Æ, 2F
: ou de 0w respectivement à du, dv, dw. Il vient donc Line
sont égaux
ER
F su (19) duw — QE RL ou 06 0 2
