II. — NOTATION DIFFÉRENTIELLE

de sorte que l’expression de la différentielle totale du premier ordre d’une fonction composée est la même que si les fonctions intermédiaires étaient des variables indépendantes. Nous voyons se manifester 1C1 un des principaux avantages de la notation différentielle ; la relation (19) ne dépend ni du nombre ni du choix des variables indépendantes, et elle équivaut à autant de relations

distinctes qu’il y a de variables indépendantes. Pour calculer d?’w, nous appliquerons la règle qui vient d’être

établie à dw, en observant que, dans le second membre de la for-

mule (19), 1l entre Six HRBTHGUE intermédiaires : u,e,,du,dv,dw. On a donc NA EN

2F 2F 2F oF Un 2 Le d2 vw 2 du D ne Al O0 ae AR A Ar d? u 2 | AT F 0F , ze ee. di de + D do = RTE ds dæw RL ( 2F d2F 2F 0F >. 2 Noter Te DA Ps du dw + HR Aid 7 Ed + ETS d?w,

ou, en réduisant et employant la même notation symbolique que

plus haut,

(2) àF du = (Te du + D do + D dw) d'u + —d?6 DRE

ou dp vu dp = dœ

La formule est plus compliquée que dans le cas où uw, 6, sont les variables indépendantes, à cause dés termes en d'u, d?v, d?6w, qui disparaissent lorsque w, e, w sont les variables indépendantes. Pour avoir d'w, on here de nouveau la même règle à d'w, en observant que d?w dépend de neuf fonctions intermédiaires : u, », w, du, dv, dw, d'u, d’v, d?6w, et ainsi de suite. L'expression générale de ces différentielles devient de plus en plus compliquée; d'w est une fonction entière des différentielles de &, P, , jusqu'à l’ordre n, et l’ensemble des termes où figurent les différentielles d'ordre nr et n — 1 est, pour nr > 2,

oF 0F 0F (7/0F Ally PART D pe d d'ir-i ERA NUE A du E der dr p + ee our (5) u Si dans d’w on remplace u, », w, du, dv, dw, ... par leurs expressions au moyen des variables indépendantes, d'w devient un polynome entier en dx, dy, dz, dont les coefficients sont

égaux (voir laremaraque du n° 25)aux dérivées partielles d'ordre nr $ q Ï

LL" en, :

de w, multipliées par certains facteurs numériques. On a ainsi du même coup toutes les dérivées-partielles d’ordre n.

Supposons, par exemple, qu'on veuille calculer les dérivées parüelles du premier et du second ordre de la fonction composée w = f (u), où w est une fonction de deux variables indépendantes, u — (x, y). Si l’on calcule ces dérivées séparément, on a d’abord les deux dérivées partielles du premier ordre

dw ow ou 0w ow ou (20) 29,2 PRICES PAS SEE APN O LEE 0Y ou 0y et, en prenant les dérivées de ces deux équations par rapport à æ

et par rapport à y, on a trois relations distinctes seulement qui donnent les dérivées du second ordre :

0? w 02 () do o?u

0x? ou? \o0x ou 0x?° (21) / 9? A | 0œ.0Y du? 07 PCT roy

02 d2w / du \? 0w du

De = a (or) + a ge

la seconde des relations (21) s'obtient en différentiant par rapport à y la première des équations (20), ou la seconde par rapport à æ. Avec les différentielles totales, ces cinq relations (20) et (21) peuvent être remplacées par deux seulement : |

| ds a TE ou (ee 02? 0 | do — Juris — du:

ou? ou

si l’on remplace dans ces deux formules du par dx + dy, Au DL: 1,08 : 7 PT dx dy + 97 dy?, les coefficients de dx et dy dans la première donneront les dérivées paruelles du premier ordre de w, et les coefficients de dx?, 2 dx dy, dy? dans la deuxième donneront de même les dérivées partielles du second ordre de «w. ae

d not ; u par dr?+

21. Différentielles d’un produit. — La formule qui donne la différentielle totale d'ordre nr d’une fonction composée se sim-

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