I. — COURBURE DES COURBES TRACÉES SUR UNE SURFACE
précisément les tangentes asymptotiques. Plus généralement, si deux surfaces S, Si sont tangentes à l’origine au plan des xy, la projection de la courbe d’intersection sur le plan des æy a pour équation
Oo=(r—r1)2?+2(s —s1)xy +(t—t1)Y?+...,
Ti, 51, 1 ayant la même signification pour la surface S, que r, s, € pour la surface S. La nature du point double dépend du signe de l’expression (S—s,}—(r—r;)(t—#t\); si celle-ci est nulle, la courbe d’intersection présente, en général, un point de rebroussement.
En résumé, il existe en chaque point d’une surface quatre positions remarquables pour les tangentes à cette surface ; deux tangentes rectangulaires pour lesquelles Le rayon de courbure R est maximum ou minimum, et deux tangentes asymptotiques pour lesquelles R est infini. On obtient celles-ci en égalant à zéro le trinome /a«?+2sa8 +6? (cf. n° 223). Nous allons montrer maintenant comment on détermine les sections normales principales et les rayons de courbure principaux dans un système d’axes rectangulaires quelconque.
242. Rayons de courbure principaux.— L'étude de l’indicatrice met en évidence qu’à une valeur donnée de R correspondent en général deux sections normales, réelles ou imaginaires, dont le rayon de courbure a la valeur donnée ; iln’y a d'exception que si R est égal à l’un des rayons de courbure principaux et il n'y a dans ce cas que la section normale principale correspondante qui admette ce rayon de courbure. Pour déterminer les sections normales dont le rayon de courbure a une valeur donnée KR, reprenons la formule générale (11), que nous écrivons
ta 1 D du?+ 2D'du de + D'ds?
AE D Edu+2F du dv + G dr?
en posant R—04ÿA2+ B?+ C2. Pour une valeur donnée de p,
, 2 Là e r do l'équation (21) est une équation du second degré en =;
(22) (pD—E) du?+ 2(0D'—F) du de + (pD'— G)de?= 0,
dont les deux racines déterminent les tangentes aux sections normales qui admettent le rayon de courbure R. Si R est un rayon
he : : ; de de courbure principal l'équation (22) a une racine double en — | | du
qui satisfait aux deux relaiions
(pD — E) du +(pD'—F)de k (pD'—F) du + (9 D'— G) de = 0,
Îl
et ce système détermine à la fois les rayons de courbure principaux
; ae SERA. de .
et les sections normales principales. En éliminant Tr? ON obtient
une équation du second degré en p
(24) (pD—F}—(pD—E)(pD"—G)=o,
dans laquelle 1l suffira de remplacer p par pour avoir
