II. — LIGNES ASYMPTOTIQUES. — LIGNES DE COURBURE
de lignes asymptotiques se projettent sur le plan des xy suivant les
courbes alt NE yla= (eue
2° Prenons encore la surface conoïde z — ® (2) + On peut poser æ = u, æ
y =ur,z=vy(s), et les relations (3) deviennent
A+Bv
0, Bu+CGw'(v)=0o;
on y satisfait en prenant C = —u, B=%(v), À = — po'(v), et l'équation différentielle (30) est ici
[4 : JUMENT, ! ssl uv’(e) dp?— 29'(0) du dv = 0.
On a d’abord la solution # = const. qui donne les génératrices rectilignes ; en divisant par dv, il reste l’équation
o'(v)de 2 du Gite) ro N Nine ‘
d'où l’on en tire u2= Cvw'(v),etles projections des lignes asymptotiques du second système sur le plan des xy ont pour équation
L? = cg (2):
ET
3 Citons encore les: surfaces signalées par M. Jamet, dont l'équation peut être ramenée à la forme
En prenant pour variables indépendantes 3 et + — u, l'équation difféœ
rentielle des lignes asymptotiques est
vee dés Re) Le NIUE F(a) Ju) et s'intègre par deux quadratures.
4 Une surface hélicoïde est représentée par les équations
en COS); y =psinw, z = f(p)+hw;
nous laissons au lecteur le soin de démontrer que l'équation différentielle des lignes asymptotiques est
Pf"(e) dp?— 2 h dw do aie p? J'(e) diw? — (AN
on en tire encore w par une quadrature.
244. Lignes asymptotiques des surfaces réglées. — Toute surface réglée peut être représentée par des équations de la forme
T = LTo+auU, Y=Yo+ Bu, 3 = 30+ YU,
Los Vos 305 4 P, y étant des fonctions du paramètre +. Lorsqu'on fait uw — 0, le point (x,, 75, 30) décrit une certaine courbe sur la surface ; au contraire, lorsque, # restant constant, on fait varier w, le point (x, y, s) décrit une génératrice rectiligne et la variable w est proportionnelle à la distance du point (x, y, z) au point (Los Vos 30) de la courbe F. Supposons, pour simplifier, qu’on prenne K — Æ 1 dans les formules (4) ; les expressions (15) et (16) montrent aussitôt que D —o, que D’ est indépendant de w, et enfin que D” est un polynome en «w du second degré au plus. En divisant le premier membre de l'équation (28) par le facteur de qui correspond aux génératrices rectilignes, il reste, pour déterminer le second système de lignes asymptotiques, une équation différentielle de la forme
102) Mt + Mu+N=o,
L, M et N étant des fonctions de la variable v. Les équations de cette espèce Jouissent de propriétés remarquables, qui seront établies plus tard. Ainsi on verra que /e rapport anharmonique de quatre intégrales quelconques est constant ; il en résulte que le rapport anharmonique des quatre points de rencontre d’une génératrice quelconque de la surface avec quatre lignes asymptotiques est constant, ce qui permet de trouver toutes ces lignes asymptotiques dès qu’on en connaît trois. On verra aussi que, lorsque l’on connaît une ou deux intégrales de l'équation (32), on peut trouver toutes les autres par deux quadratures ou une seule quadrature. Si toutes les génératrices de la surface rencontrent une droite fixe, cette droite est une ligne asymptotique du second système, et l’on aura toutes les autres par deux quadratures. Si la surface admet deux directrices rectilignes, on connaît deux lignes asymptotiques, et il semblerait qu’il faudra une quadrature pour avoir les autres. Mais on peut obtenir un résultat plus précis. En effet, étant donnée une surface réglée admettant deux directrices rectlignes, on peut effectuer une tranformation homographique
