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dec du 0p — c'Ôu
Cette condition s'écrit, en chassant les dénominateurs et remplaçant cc', «+ c' par leurs valeurs,
(3#) D du du + D'(du dv + dv du) + D" de Ôp = 0.
En tenant compte des valeurs de D, D”, D”, cette condition peut encore s’écrire sous l’une ou l’autre des formes équivalentes
(34) dA dx + dB èy + dGôs = 0, dA dx + dB dy + dC dz = 0,
© L f inéral en posant, d’une façon générale,
oF oF DFrS 9F AË= du + du, SF bu 0e
Étant donnée une courbe T située sur la surface S, le plan tangenL à cette surface tout le long de la courbe l enveloppe une surface développable qui est tangente à la surface S tout le long de l'; en chaque point M de T, la génératrice de cette développable est la tangente conjuguée de la tangente à F.
En effet, quand on se déplace suivant la courbe T, x, y, 3, À, B, C sont fonctions d’un paramètre variable #; la caractérisuque du plan tangent est définie par les deux équations
A(X—zx)+ B(Y—y)+ C(Z—3)=0,
Go? dA(X ET) FA B(Y = y) ACL NE
en ayant égard à la relation (5). La lettre d indique des différenuelles prises par rapport à a; si les paramètres directeurs de cette caractéristique sont dx, dy, 0z, la seconde des formules (35) donne
la relation d'A 0x + dB dy + dC 5z = 0,
qui est identique à la relation (34); d'où résulte le théorème énoncé. En particulier, si la courbe F est une ligne asymplotique, la caractéristique coïncide avec la tangente elle-même à la courbe F, ‘qui est par conséquent l'arête de rebroussement de la surface développable (cf. n° 243).
On dit que deux familles de courhes de la surface, dont chacune dépend d’un paramètre variable, forment un réseau conjugué, lorsque les tangentes aux courbes des deux familles qui passent par un point quelconque de la surface y sont conjuguées. Il existe évidemment une infinité de réseaux conjugués, car on peut se donner arbitrairement une des deux familles de courbes, et les courbes de la seconde famille sont déterminées par une équation différentielle du premier ordre. Soit, en effet, Fu, v) = K l’équaüon d’une famille de courbes dépendant d’un paramètre arbi-
traire K. De l'équation dF — o, on déduit E — G{u, »), et l'équa-
, ue ù uon (33) nous donne alors la valeur de = en fonction de w et de »,
c’est-à-dire une équation différentielle du premier ordre.
