NOTATION DIFFÉRENTIELLE. GI

plifie dans certains cas d’une application fréquente dans la pratique. Ainsi, soil à calculer la différentielle totale d’ordre nr d’un

produit de deux facteurs w = uv. On a, pour les premières valeurs de n,

dw = v du + u dv, diw = p d'u + 2 du dv + u dv, 1

et, d'une manière générale, il est visible, d’après la loi de formation de ces différentielles, qu’on a

d'w = + d'u + CG; de dimu + GC do di2u+...+udrv,

C,, G>,... étant des nombres entiers positifs. On pourrait démon- trer de proche en proche que ces coefficients sont identiques à ceux du développement de (a + b)*,\ mais on y arrive d’une façon

plus élégante au moyen de l’artifice suivant qui s'applique à une 4 foule de questions du même genre. Observons que Gi, Co, ..., C», .… ne dépendent pas de la nature des fonctions w ete; 1l suffit donc de les déterminer pour des fonctions particulières. Prenons

pour cela. uw —e*, v — ef, x el y étant deux variables indépendantes ; on a |

W = eXTY, dw = ex+Y(dx + dy), El diw = e*+Y(dx + dy }?, due dr: d'u = ex dx?,

dé te) dy, oi e) dy?

7e et la formule générale devient, après avoir divisé par e7*7, (dx + dy} = don + CG; dy dent + CG dy? dær-2+.,.+ dyr.

Comme dx et dy sont arbitraires, 1l s'ensuit qu’on doit avoir

et la formule générale est par conséquent

nm NN I :

(23) dr(uv) = diu + — do d'u + OU Se dn-?u+...+udte. : à [ 1.2 Cette formule s'applique quel que soit le nombre des variables indépendantes; si, en particulier, & et # sont fonctions d'une seule variable æ, on aura, en divisant par dx", l'expression de la dérivée nine d'un produit de deux facteurs. Il existe des formules

62 CHAPITRE Il. — DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES.

analogues à la formule (23) pour le produit d’un nombre quelconque de facteurs. On les démontre de la même manière.

La formule qui donne d'w se simplifie également lorsque les fonctions intermédiaires w, »; æ sont des fonctions entières et linéaires des variables indépendantes x, y, z,

u= ax +by +cz + f, p= az +by+czLef, w=az+b'y+c'z+ f",

les coefficients a, a!, a, b, b!, ... étant des constantes. On a

du = a dx + bdy +cdz, do = a'dx + b'dy + c' ds, dy,= dde dy +.c" dz,

et toutes les différentielles d'u, dr 9, d'w, où n>1, sont nulles. La formule qui donne d’ w est donc la même que si &, p, æ étaient les variables indépendantes

7 (r) Hunts (du LEE Fe dw) a ou dv d

28. Fonctions homogènes. — Une fonction 9(X, y, 3) esl dite homogène et de degré m, si on a identiquement

(ET, ty, tz3) = im P(T, 7; s)0

Considérons pour un moment T;, ÿ, 3 Comme ayant des valeurs déterminées et £ comme la seule variable indépendante; la formule précédente peut s’écrire

PCU, P, m)=ime(z, y, à),

en‘posant uw — {x, p — DEEE: NÉ ne Egalons les différentielles d'ordre ñn des deux membres en obser-

Yantque w, #, w sont des fonctions linéaires de £ et qu'on a

AU VE AE dv = y dé, dw = 3 dt:

il vient, d’après la remarque de tout à l'heure, en supprimant le facteur commun QU |

7 2% | do do (n) STE Et Vo ROM — 1)... (mn +) mn p(x, y, 2),

II. — NOTATION DIFFÉRENTIELLE. 63 Si maintenant on fait {= 1, 4, #, w se réduisent à +, y, setun terme quelconque du premier membre supposé développé,

a — D VIS PTIT QuP 962 dwr 4 ;

se réduit à 07. È À par Gb gyroa 7°"?

on est donc conduit à l'égalité symbolique role) do \ (2) («5 ù Frs 3 5) = Mm(m—i1)...(Mm—n+i1)o(x, y, 3),

qui se réduit pour n — 1 à la formule bien connue

09 do do mp(T, y, AE EE me ae ee Notations diverses. — En définitive, nous avons trois notations

pour représenter les dérivées partielles des différents ordres d’une fonction de plusieurs variables : celle de Leibniz, celle de Lagrange et celle de Cauchy. Ces différentes notations ayant l’inconvénient abrégées.. Une des plus employées est celle qu'on doit à Monge pour les dérivées partielles du premier et du second ordre d’une fonction de deux variables; si 3 est une fonction des deux variables æ et y, on pose 03 03 023 023 0? 3 M 0 TT Gp 0 Gas 0x dy” op?

et Les différentielles totales dz et d?z ont pour expressions

dz = p dx + q dy, d'3=rdx?+2s dx dy + tdy?.

29. Formule de Taylor pour les fonctions de plusieurs variables. — Soit, pour fixer les idées, w — f(x, y, 3) une fonction de trois variables ; on peut obtenir, pour l’accroissement de cette fonction correspondant à des accroissements h, £, [ des variables, un développement analogue à la formule (6) (n° 18). Il suffit d'employer Vartifice suivant, dû à Cauchy. Considérons +, y, 3, h, k, l comme

ayant des valeurs déterminées, et posons

pt) = f(x + he, y + kt, 3 + (6),

64 CHAPITRE 11. — DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES. t désignant une variable auxiliaire. La fonction o(t) ne dépend

que d’une variable indépendapte 4; si nous lui appliquons la formule générale (6), il vient

tn tn+1 Le —— gr) (0) + oti+1/(07),

ME RP 0) .2...(n +14) pro) o(0) 0e ©(#(0) étant les valeurs de la fonction (ét) et de ses dérivées pour { — 0, et o(*+1)(6#) étant la valeur de la dérivée (7 + 1)" pour la valeur 0£, 8 étant compris entre zéro et un. Or on peut considérer 2 (t) comme une fonction composée de #4, p(t) =f(u,v, æ), les fonctions intermédiaires

u=%T+ ht, DE Ce w = 3 + lt étant des fonctions linéaires de t. D’après ce qu'on a remarqué antérieurement, l'expression de la différentielle d’ordre m, do,

est la même que si w, #, æ étaient des variables indépendantes; on a donc l'égalité symbolique |

, LA of of of (mm) en (a of of (mn) ; ane = (au + La + Law) = dim Er ,

qui peut encore s’écrire, en divisant parois of of of (mn) (/n) — | LE —— -

A) (Hn+Yr+ Li)

Pour £— 0, u, v, w se réduisent respectivement à +, y, set l’égalité précédente devient, en employant toujours la même notation symbolique,

of of of ,\ Un) | EU) (0) (La D k+ ) On a de même

of Of of ,\(a+1) gUr+1) (0e) (ns us)

%;, J, z devant être remplacés, après le développement, par T+Oht, y+O0ké, z+07

respectivement. En faisant maintenant {—: dans la formule (24),