TN

où M et N sont des fonctions quelconques de w et de ? ; il suffira donc de connaître trois intégrales distinctes d’une équation quelconque de cette forme pour avoir les équations d’une surface rapportée à un système conjugué. Si, par exemple, on prend M = N — 0, toute intégrale de l’équation (36) est la somme d’une fonction de w et d’une fonction de ? ; sur toute surface représentée par des équations de la forme

(37) æ=f(u)+ fit), p=gq(u)+p(e),, 3=4(u) +4i(r),

les courbes (uw) et (v) forment un réseau conjugué.

Les surfaces de cette espèce sont appelées surfaces de translation; elles peuvent être engendrées de deux façons différentes par la translation d’une courbe de forme invariable F, dont un point décrit une autre courbe L’. Considérons, en effet, les quatre points M,, M;, M:, M de la surface, correspondant respectivement aux valeurs (wo, Po), (&, fo), (uo, #), (u, v) des paramètres uw, v. D'après les formules (37), ces quatre points sont les sommets d’un parallélogramme. Si, laissant v, fixe, on fait varier u, le point M; décrit une courbe T de la surface ; de même, si w, reste fixe et qu'on fasse varier ?, le point M, décrit une autre courbe T” de la surface. On peut donc considérer cette surface comme engendrée par la courbe T animée d’un mouvement de translation dans lequel le point M, décrit [', ou par la courbe T’ animée d’un mouvement de translation dans lequel Le point M; décrit T. Il est évident, d’après ce mode de génération, que ces deux familles de courbes sont conjuguées; par exemple, les tangentes aux diverses positions de [’, en tous les points de F, forment un cylindre circonscrit à la surface tout le long de l. Les tangentes à ces courbes sont donc conjuguées.

246. Lignes de courbure. — On appelle lignes de courbure d’une surface $S les lignes de cette surface qui sont tangentes en

chacun de leurs points à l’un des axes de l’indicatrice. Ges lignes sont donc définies par l'équation différentielle obtenue plus haut.

(25) (D du+D'de)(F du + Gde)—(D'du+D'de)(E du + F dv)= 0;

. e , dv re 2 Fr qui donne toujours deux valeurs réelles pour 2: La théorie géné-

rale des équations différentielles prouve qu'en tout point ordinaire de la surface (autre qu’un ombilic) il passe deux lignes de courbure et deux seulement, dout chacune est tangente à l’un des axes de l’indicatrice. Sur toute surface réelle, autre qu’une sphère ou un plan, il y a donc deux familles de lignes de courbure, qui forment un réseau à la fois orthogonal et conjugué.

Les lignes de courbure peuvent encore être définies par la propriété suivante : ce sont les lignes de la surface telles que les normales à la surface aux différents points de l’une d'elles forment une surface développable.

Prenons, en effet, les équations de la normale