EN B EME
pour que celte droite engendre une surface développable, il faut
et 1l suffit qu'on ait (n° 215)
APM (38) AMD MCE D dA dB dû
ou, en développant les différentielles,
0x 0x OV 0Y 03 oz a du + di JAUNE 5, du + de A B G 0:
OA OA 0B 9B 0G oG AU UE A. du + dv S Aus db
Pour montrer l'identité de cette équation différentielle avec l'équation (25), multiplions les éléments de la première colonne
0 nr. 0 Le ceux de la troisième par L et
remplaçons les éléments de la première colonne par la somme des
ox par 5 ceux de la seconde par
produits correspondants. Après une combinaison analogue, où w
Il. — LIGNES ASYMPTOTIQUES. — LIGNES DE COURBURE. 609
est remplacé par ?, le déterminant devient, en tenant compte des
valeurs de D, D', D’ [formules (14) et (14')]
Édi FARR US ŒUUUe dui ed uu op 0 0 C 0:
3 ! ( 0G D du + D'de D'du + D’ de ; HE ds dv
on retrouve bien l'équation (25).
Ce résultat s'explique aisément au moyen des propriétés des développées des courbes gauches, et des tangentes conjuguées. Soit l'une ligne de la surface S telle que la normale MN engendre une surface développable ; si l’on fait tourner cette droite d’un angle droit autour du point M dans le plan normal à F,, elle vient coïncider avec une droite MT' du plan tangent, perpendiculaire à la tangente MT de la courbe T. La droite MT" engendre aussi une surface développable, qui est circonscrite à S tout le long de T (n° 235). Les droites MT, MT sont donc deux tangentes conjuguées: puisqu'elles sont orthogonales, ce sont Les axes de l’indicatrice. La réciproque se démontre de la même facon. | |
Dans les applications, il est souvent commode de prendre l'équation différentielle des lignes de courbure sous la forme (35), car cette forme n’exige pas le calcul préalable des six coefficients E, F,G, D, D', D". Supposons, par exemple, qu’on ait une surface représentée par l'équation z = F(x, y); les équations de la normale sont : (X=—pl+(x+pz),
(39) | Y=—g2+(y+g3); gHEY + gs),
pour que cette droite engendre une surface développable, il faut et 11 suffit que les deux équations (n° 215)
(40) — ZLdp + d(x + pz)=0, — Ldq + d(y+gz)=0 soient vérifiées pour une même valeur de Z, c’est-à-dire qu'on ait
d(x+pz) d(y+g3) dp a dg à ou, plus simplement,
dx + pds dy + g dz
dp dq
En remplaçant ds, dp, dq par leurs expressions, on oblent
l'équation différentielle
G+p?) dx + pq dy pq dr + (+ q?) dy
(41) r dx + s dy sdx + (dy
qui est bien identique à l'équation (25)! quand on remplace dx et dy par set $ respectivement.
1° Cherchons, par exemple, les lignes de courbure de l'hélicoïde
z = a arc tang — - E On peut poser ici
Li: pICOS 0; MÉer0 Si 0, D'ÉTD les coefficients À, B, G doivent satisfaire aux deux relations
À cos8 + Bsinô — 0, — A9 sinô + Bp cosô + Ca = 0.
Nous prendrons G = p et, par suite, A = asin6, B = — a cosb.
L'équation différentielle (38) devient ici, en développant et réduisant les termes semblables,
On en tire
et
Les projections de ces lignes de courbure sur le plan des æy sont des spirales toutes égales qu’il est facile de construire.
> Cherchons encore les lignes de courbure du paraboloïde 4 = sed. a On a
et l'équation différentielle (41) devient ici
(a+ y?) dx? = (a? + x?) dy?.
If, — LIGNES ASYMPTOTIQUES. — LIGNES DE COURBURE. Gtr
On entire dx dy
rs LINE CRE Vrz?+a Wÿy?+a?
si nous prenons, par exemple, le signe + devant les deux radicaux, l’intégrale générale est représentée par l'équation
(æ+yx?+ a?) (y +Vr2+ a) = C, qui donne l’un des systèmes de lignes de courbure. Si l’on pose
(42) 1=2yy?+ a+ y Va+ ai,
l'équation précédente peut encore s’écrire
À+ VE a = C,
d’après l'identité e Vr?+ a+ yyx?+ a?) + at — Læy + Var? + a?) (y? + æ) |”,
et 1l s'ensuit que les projections de l’un des systèmes de lignes de courbure sont représentées par l’équation (42), où À désigne une constante arbitraire, On verrait de même que les projections des lignes de courbure de l’autre
système sont représentées par l'équation
(43) TVy?+ a —yVr+ a! =.
En tenant compte de l’équation du paraboloïde xy = az, les relations (42) et (43) peuvent encore s’écrire
Var +yy+zr=0, arte yy+z=c';
Va? + DSRÈL Vr?+ z?
or
représentent les distances du point (x, y, z) aux deux axes Oy et Ox respectivement. Les lignes de courbure du paraboloïde sont donc des courbes telles que la somme ou la différence des distances de l'un quelconque de leurs points aux deux axes Ox et O y est constante.
247. Développée d’une surface. — Soit C une ligne de courbure de la surface S ; lorsque le point M décrit la courbe C, la normale MN à la surface reste tangente à une courbe F. Appelons À le point de contact, et soient X, Ÿ, Z ses coordonnées; la coordonnée Z est donnée par l’une quelconque des équations (40), qui se réduisent à une seule, puisque Gest une ligne de courbure.
Ces équations (40) peuvent s’écrire
Le (Gi+p?) dx + pq dy padz+(+g?)4y.
r dx + s dy sdx +tdy É
on obtient encore une fraction équivalente à ces deux-là en multipliant les deux termes du premier rapport par dæx, les deux termes du second par dy, et les combinant par voie d’addition, ce qui
donne dr?+ dy?+(p dx + q dy}
L— 3 — r dx? + 25 dx dy + t dy?
Mais dx, dy, dz sont proportionnels aux cosinus directeurs &, 8, y de la tangente, et l’on a encore
x2+ Br+(pa+ gb} J
ra2+ 2sa8 + f? ra? + 25aû + 16?
Si nous comparons cette formule à la formule (13), qui donne Île rayon de courbure R, pris avec son signe, de la section normale tangente à la ligne de courbure, on voit que la relation précédente peut s’écrire
(44) AU à ne
\ Vi+p'+ q?
y étant le cosinus de l’angle aigu que fait la direction positive de la normale avec O5. Mais z + Ry est précisément égal à la valeur de Z pour le centre de courbure de cette section normaleil s'ensuit que le point de contact À de la normale MN avec son enveloppe T coïncide avec le centre de courbure de la section normale principale tangente à GC. La courbe F est donc le lieu même de ces centres de courbure. Si lPon considère toutes les lignes de courbure du même systéme que la ligne C, le lieu des courbes F correspondantes est une surface X à laquelle toutes les normales de S restent tangentes. Car la normale MN, par exemple, est tangenle en À à la courbe F située sur 2.
Considérons maintenant la seconde ligne de courbure C’ passant par M et coupant orthogonalement la première C. La normale à la surface S le long de C’ reste de même tangente à une courbe F’ qui est le lieu des centres de courbure des sections normales tangentes à C’. Le lieu de cette courbe L' pour l’ensemble des lignes de courbure du même système que C! est une surface Ÿ/ à laquelle
