II. — LIGNES ASYMPTOTIQUES. — LIGNES DE COURBURE

point quelconque de la normale MN à la surface S au point M, MT et MT les tangentes aux deux lignes de courbure CG, C' passant en M. La surface parallèle à S qui passe au point O à son plan tangent parallèle au plan tangent en M à S; les surfaces dévelop- & de la courbe C ou de la courbe C! ont pour plans tangents les plans NMT et NMT' res-

pables engendrées par les normales le lon

pectivement. Ces trois plans sont bien orthogonaux deux à deux.

De tout système triple orthogonal on peut déduire une infinité d’autres systèmes analogues, au moyen de la transformation par rayons vecteurs réciproques, puisque cette transformation conserve les angles. Puisque toute surface, nous venons de le voir, fait partie d’un système triple orthogonal, on en conclut, ce qu'il est aisé de vérifier, que, dans toute transformalion par rayons vecteurs réciproques, les lignes de courbure de la surface transformée sont les transformées des lignes de courbure de la surface primitive.

931. Torsion géodésique. — Les propriétés des lignes de courbure se : rattachent à un élément géométrique important, qui dépend des dérivées du troisième ordre. D’après une formule antérieure de la théorie des courbes gauches (n° 235), on a la relation

NOR CU SON p : dô LAC SNL CS ss Ti) ds : ap onu Cr le SAPIN JR

2, 8, y étant les cosinus directeurs de la tangente à une cou rbe quelconque F située sur une surface S:; À, u, y étant les cosinus directeurs de la normale à cette surface, 8 l'angle de la normale à la surface avec la normale principale de T, compté comme au n° 235, T le rayon de torsion de T. Les coordonnées æ, y, z d'un point de S étant exprimées au moyen de deux paramètres w, 6, les cosinus À, u,v sont aussi des fonctions de uw, », et tous

ee à ; ds les éléments du déterminant H s'expriment au moyen de w, », GS L'expresu

ÿ I k K sion = — — a donc la méme valeur pour toutes les courbes T de la sur-