IL: ds

face qui sont tangentes au point (u,v). M. O. Bonnet, auquel est dû cet important résultat, a donné à cet élément le nom de torsion géodésique. Pour étudier la variation de la torsion géodésique avec la position de Ja tangente, prenons pour axes des æ et des y les deux axes de l'indicatrice, de façon que la surface soit représentée par léquation

2 2 se SAT

DR os sa 1 = + se

Pour une courbe T de la surface passant par l’origine, et dont la tangente fait un angle w avec l’axe des x, on a, à l’origine, à = cosw, B = sinw;

d dÀ cosw dy Sin { —= 0; AE 2 —= O, Ve {, PS = AT Pr pr ue EE la formule (51) devient (51 puis I dA [1 | Ro ME 51 )0Ë = — = | 2 — 2 )sinowtcosw.

RSR (R R )

Cette formule, qui complète la formule d'Euler, montre que la torsion géodésique est nulle si la courbe est tangente à l’un des axes de l'indicatrice, et dans ce cas seulement. Les lignes de courbure peuvent donc être définies comme es lignes de la surface dont la torsion géodésique est nulle en chaque point; ce qui résulte d’ailleurs de la formule (51), puisqu’en égalant le second membre à zéro, on obtient l’équation différen-

T tielle de ces lignes. Remarquons encore que, quand on change w en Me:

dans la formule (5r)°i, le second membre change de signe; par conséquent, La somme des torsions géodésiques de deux courbes orthogonales de la surface est nulle au point d’intersection.

Lorsque deux surfaces S, S' se coupent sous un angle constant suivant une courbe l, la différence 0 — 0’ est constante le long de cette ligne, et par suite la torsion géodésique de l est la même sur les deux surfaces. Le théorème de Joachmisthal est une application immédiate de cette remarque. Les propriétés de la torsion géodésique conduisent aussi très simplement au théorème de Dupin. Soient S;, S:, S3 trois surfaces passant par un point M de l'espace, et appartenant respectivement aux trois familles d'un système triple orthogonal. Soient l', l'intersection de S, et de S3. T, l'intersection de S; et de S;, l'; l'intersection de S, et de 52. Les surfaces S, et S3 étant orthogonales le long de l';, la torsion géodésique de l', est la même sur les deux surfaces; désignons-la par 7,. Les lettres t: et +; ayant des significations analogues pour les courbes l', et l;, les valeurs de ces torsions géodésiques au point M vérilient les relations T1 + To = O, To + T3 — O0, T3 T1 — 0, Car les courbes Met M/par exemple, de la surface S; sont orthogonales. On a donc == %t3= 0, au point commun M. Les tangentes aux courbes li, l,, l;, au point M, sont, dans chacun des plans tangents, les axes de l'indicatrice de la surface S; correspondante. Comme le point M est un point quelconque de l’espace, les courbes l'; sont bien des lignes de courbure pour les deux surfaces S; auxquelles elles appartiennent (1).

(*) Les théorèmes de Meusnier et de Bonnet ne constituent pas des propriétés spéciales aux lignes tracées sur une surface. Ces propriétés s'étendent à toutes les courbes T qui satisfont à une relation de la forme

A dx + B dy + C ds = 0,

A, B, G étant des fonctions de æ, y, 3. Il existe une infinité de courbes de cette