II. — LIGNES ASYMPTOTIQUES. — LIGNES DE COURBURE

252, Application à quelques classes de surfaces. — On s’est proposé un grand nombre de problèmes sur la détermination des surfaces dont les lignes de courbure satisfont à des conditions géométriques données à l’avance. Nous indiquerons quelques-uns des résultats les plus simples.

Cherchons d’abord toutes les surfaces dont les lignes de courbure de l’un des systèmes sont des cercles. D’après le théorème de Joachimsthal, le plan du cercle doit couper la surface sous un angle constant; il s'ensuit que les normales à la surface jen tous les points du cercle CG doivent rencontrer l’axe du cercle (c’est-à-dire la perpendiculaire élevée par son centre sur le plan du cercle), en un même point O. La sphère décrite du point O comme centre et passant par C est tangente à la surface tout le long de C; la surface considérée est donc l'enveloppe d'une sphère dépendant d’un paramètre variable. Inversement, toute surface enveloppe de sphères répond à la question, car les caractéristiques, qui sont des cercles, forment évidemment une première famille de lignes de courbure.

Les surfaces ‘de révolution sont évidemment un cas particulier. Un autre cas intéressant est celui des surfaces canaux, ou surfaces enveloppes d’une sphère de rayon constant R dont le centre décrit une courbe arbitraire l. Les caractéristiques sont les cercles de rayon R dont le centre décrit Let dont le plan reste normal à l. Les normales à la surface sont aussi normales à la courbe T': on obtiendra donc les lignes de courbure du second système en prenant les traces sur la surface des développables engendrées par les normales à F.

Si les deux systèmes de lignes de courbure d’une surface sont des cercles, cette surface peut, d’après cela, être considérée de deux manières. différentes comme l'enveloppe d’une sphère dépendant d’un paramètre variable. Soient S3, S2, S3 trois sphères quelconques du même système, Ci, C?, C3 les caractéristiques correspondantes, et Mi, M, M3 les points de

espèce, dépendant d’une fonction arbitraire, car on peut se donner y en fonction de æ, y = f(x), par exemple, et 3 est déterminée par une équation différentielle du premier ordre. Les langentes aux courbes F qui passent par un point de l’espace sont situées dans le plan P, normal à la droite A dont les paramètres directeurs sont À, B, C. Pour toutes les courbes de cette espèce, ayant la même : éash 14 d'A ?

tangente en un point, les deux ELPT'ESSIONS Er TR — Ts ont la même valeur, R, T ayant la signification habituelle, et 6 étant l’angle que fait la droite À avec: la normale principale à F.

Nous pouvons supposer en effet que À, B, C sont les cosinus directeurs de la dA dx + dB dy + dGdz ———; ——— de la

ds° formule (6). ainsi que le déterminant H de la formule (51) ne dépendent que dr AA

ds’ ds’ ds

normale au plan P, et il est évident que le terme

de æ, y, %,

622 CHAPITRE XiI1. — SURFACES.

rencontre de C1, C+, G3 avec une ligne de courbure C' du second système. La sphère S' tangente à la surface en tous les points du cercle C'est aussi tangente aux trois sphères S1, S2, S3 aux points M:, M», M;; de sorte que la surface cherchée est l'enveloppe d’une sphère variable qui reste tangente à trois sphères fixes. Gette surface bien connue est la cyclide de Dupin. M. Mannheim a démontré d'une façon élégante qu’elle était la transformée d’un tore par rayons vecteurs réciproques. Soit y le cercle orthogonal aux trois sphères S1, So, S3; si l’on effectue une transformation par rayons vecteurs réciproques en prenant pour pôle un point de y, ce cercle se change en une ligne droite O0”, et les sphères S1, Sa, S3 se changent respectivement en trois sphères 1, 22, 2; orthogonales à la ligne droite OO’, ayant par conséquent leurs centres sur cette droite. Soient

!, C,, GC, les sections de ces sphères par un plan passant par O0", C’ un cercle tangent à C4, GC, GC, et Z' la sphère admettant C' pour grand cercle. Il est clair que, dans un mouvement de rotation autour de OO”, la sphère £' reste tangente aux trois sphères Z1, 2, Es, et l'enveloppe de Z est le tore ayant pour méridienne le cercle C.

Proposons-nous encore de déterminer Îles surfaces dont les lignes de courbure de l’un des systèmes sont des courbes planes situées dans des plans parallèles. Prenons pour plan des zy un plan parallèle aux plans des lignes de courbure, et soit

æcosa + y sina = F(x, 2)

l'équation tangentielle de la section plane faite dans la surface par un plan parallèle au plan des xy; F(x, 3) est une fonction des deux variables « et z qui dépend de la surface considérée. Les coordonnées æ, y d’un point de la surface s’obtiendront en joignant à l'équation précédente la relation

, oF er Sin. re COS Rs JA

Les formules qui donnent , y, z sont donc les suivantes : | |

(52) æ=Fcosa—sina, ACL inter) CE = de a

toute surface peut être représentée par des équations/de cette forme, en choisissant convenablement la fonction F(ax, 3). Il n’y aurait exception que pour les surfaces réglées admettant le plan 3 0 comme plan direc-

teur.

Un calcul facile donne, pour les coefficients A, B, G de l'équation du

plan tangent,

À = COS, B = sina, C=— —;

de sorte que le cosinus de l'angle que fait la normale avec Oz a pour