II. — LIGNES ASYMPTOTIQUES. — LIGNES DE COURBURE

expression — F2

MR à Vi+F2

Pour que les sections planes, situées dans les plans parallèles au plan æOy, soient lignes de courbure, il faut et il suffit, d’après le théorème de Joachimsthal, que ces plans coupent la surface sous un angle constant, c'est à-dire que v soit indépendant de «. Il faut et il suffit pour cela que F£ ne dépende que de la variable z, et par suite que F(x, 3) soit de la forme

Fa, 3) = 9(3)+ 4 (ax),

les fonctions + et Ÿ étant arbitraires. Les formules (52) deviennent alors

a)cosa — V'(x)sina+vw(z)cos «a. ? ASIE £

T (53). y = Ÿ(a) sina + Ÿ’(x) cosx + w(z) sina,

in

æ AJ «

on obtient ainsi les surfaces les plus générales répondant à la question.

On peut donner de ces surfaces la génération suivante. Les deux premières des équations (53) représentent, quand on y considère 3 comme constant et &« comme variable, une famille de courbes qui sont les projections sur le plan 3 = 0 des sections de la snrface par des plans parallèles au plan des æy. Or, ces différentes courbes sont toutes parallèles à la courbe obtenue en faisant #(z) —0; d’où l’on déduit la construction suivante on prend, dans le plan 3 = 0, une courbe arbitraire et les différentes courbes parallèles à celle-là, puis on déplace chacune de ces courbes, suivant uue loi arbitraire, parallèlement à O3; la surface engendrée par les différentes positions de la courbe variable est la surface la plus générale répondant à la question.

Ce mode de génération peut être, comme on le voit aisément, remplacé par le suivant : Les surfaces demandées sont engendrées par une courbe plane de forme arbitraire dont le plan roule sans glisser sur un cylindre à base quelconque. Ge sont donc des surfaces moulures.

On le vérifie facilement sur les formules (53) en étudiant les courbes planes à = const. Les deux familles de lignes de courbure sont précisément les courbes planes z = G et « = C:.

253. Représentation sphérique. — Soit È une surface ou portion de surface, ayant deux côtés distincts (n° 438). Choisissons un de ces côtés en particulier, et considérons en chaque point M la direction MN de la normale qui correspond à ce côté. Puis menons, par le centre O d’une sphère S, dont on suppose le rayon égal à l’unité de longueur, une demidroite parallèle à la direction positive MN de la normale à Z. Cette demi-droite perce la sphère S en un point »m qu’on fait correspondre au point M de 2. À chaque point M de È correspond ainsi un point déterminé m de S; les plans tangents sont parallèles aux points correspondants

et si l’on adopte, comme direction positive de la normale à la sphère, la direction qui va vers l'extérieur, les directions positives des normales aux deux surfaces sont aussi les mêmes. A chaque courbe C de Z correspond une courbe c de S, qui est l’image sphérique de C.

La tangente mten un point m de c est perpendiculaire à la tangente conjuguée sur 2 de la tangente MT à la courbe C au point correspondant M.

Soient, en effet, M et M’ deux ‘points voisins de C; m et m' les points correspondants de c, D la droite d'intersection des plans tangents à la surface 2 aux points M et M', d la droite d’intersection des plans tangents à la sphère aux points m et m'. Ces plans étant parallèles deux à deux, il est clair que d est parallèle à D. Lorsque le point M’ se rapproche indéfiniment du point M, la droite D a pour position limite la tangente MT à 2, conjuguée de la tangente MT à C (n° 243). De même d a pour limite la tangente conjuguée de mt sur la sphère, soit mt’. Mais mt' est perpendiculaire à mt, puisque l'indicatrice [en un point quelconque d’une sphère est un cercle ; d’ailleurs mt' est aussi parallèle à MT’, ce qui démontre la proposition énoncée.

Pour que les droites MT, mt soient parallèles, il faut et il suffit que MT soit perpendiculaire à sa tangente conjuguée, c’est-à-dire que MT soit un des axes de l’indicatrice de Z. On voit donc que la tangente à une ligne de courbure de Y et la tangente à son image sphérique sont parallèles aux points correspondants. De plus, les lignes de courbure sont les seules courbes de X jouissant de cette propriété.

Ce résultat est à rapprocher des formules d'Olinde Rodrigues. En effet,

i l’on a pris pour origine le centre de la {sphère S, les coordonnées du ar mm sont précisément les cosinus Mie À, u v de la direction positive de la normale, et, en écrivant que les tangentes aux deux courbes G et c, décrites ‘par le point M(x, y, s) et le point m(À, p, v), sont parallèles, on est conduit aux relations

qui sont bien d'accord avec les formules (46). Considérons sur la surface Z un élément d’aire infiniment petit do, autour d'un point M de cette surface, et soit do’ l'élément correspondant de l'aire

$ do , x de la sphère. Pour calculer le rapport ——, nous n’avons qu’à appliquer le P PP er q pptq

calcul du n° 144, en observant que, dans le cas actuel, les normales aux

d ‘faces étant ‘allèles. le r Le t égal t d s]éeux suriaces etan para e es, E rappor TS es ega au rappor es € !

dw à a ments Te de deux éléments du plan des zy. Supposons que dans le voisiu)

nage du point M la surface E soit représentée par une équation 3 = f(#,}); et qn’on prenne pour direction positive de la normale celle qui fait un