II. — NOTATION DIFFÉRENTIELLE

il vient

(2) 2 de MR (Hu Te fr) EST FR 0x U)2 03

(25) f(T+h, y+xk, +1) = far, 24 (De ee Un +.

le terme complémentaire avant our expression P 3 P P

) " \ (2+1) = (a+ an,

FO TEMTArr 0y 0z

Z, J, 3 devant être remplacés par +0, y +0%k,z +060 après le développement, dans les dérivées partielles.

Si l’on néglige le reste R,, on a dans le second membre de la formule (25) un polynome de degré ren h, k, 1, P,(A, k, l); lorsque les dérivées partielles d’ordre (n +1) de la fonction die 0) sont bornées, la différence entre Ja fonction f (x A, Y+k,3+ l) et ce polynome P, est un polynome homogène d’ordre (n +1) en À, k, l, dont les coefficients dépendent eux-mêmes de k, AG mais sont bornés.

Cette formule (25), dont on verra d’autres applications au Chapitre IUT, est utile dans la recherche des valeurs limites des fonctions qui se présentent sous forme indéterminée. Soient HÉCRA TE 2(4, y) deux fonctions qui s’annulent à la fois POUD Le, M0: mails qui restent continues, ainsi que leurs dérivées partielles jJusqu'à un certain ordre, dans le voisinage du point x = a, Maur proposons-nous de trouver la limite vers laquelle tend le quotient

fx, y)

o(æ, 7) lorsque x et y tendent respectivement vers «a et b. Nous supposerons d'abord que les quatre dérivées du premier ordre ske RD Ne

ne sont pas nulles à la fois; nous pouvons écrire

of HÉLONPRLENS n(E+e)+a( ee) D en DL ——— v(a+h,b+k) (B+a)+t(R+e)

€, €”, €,, €, tendant vers zéro lorsque À et k tendent vers zéro. Lorsque le point (x, y) tend vers (a, b), h et k tendent vers ZÉTO :

k AE nous supposerons que le rapport 7 tend vers une limite «, c’est-

à-dire que le point (x, y) décrit une courbe ayant une tangente au point (a, b). Divisons lé$ deux termes du rapport précédent par h;

Le F3 %, V

nous voyons que la LHAEU NE an) a pour limite

% da SRARTs ob 29 0?

da FA US

cette limite dépend en général de @, c'est-à-dire de la facon dont

les variables x et y tendent respectivement vers leurs limites a et b. Pour que cette limite fût indépendante de z, il faudrait qu’ on eût

of d9 Of d?

da db 0b 0a D

) dp 0 ce qui n’a pas lieu en général. Si les quatre dérivées “e . SE 5

sont nulles, on poussera le développement jusqu'aux termes du second degré en h et , et ainsi de suite.