III. — NOTIONS SUR LES SYSTÈMES DE DROITES

angle aigu avec Oz. Les coordonnées du point m sont alors

x! —= a dE RES rs 3! — PCT AMEN VINS Vi+ p?+ g° Vi+p?+ q? Vi+ p?+ q?

et l’on a do" HE MS = a LE q) do gA D(p, q) D(x, y)

ou, comme le montre un calcul facile,

du" |rt—s?] dw (1+p?+ 92)

Le second membre de cette formule n’est autre que la valeur absolue

de la courbure totale —— FF de la surface Z, ce qui conduit à une définition

de cet élément géométrique tout à fait analogue à celle de la courbure d’une courbe (n° 298),

Mais, tandis que la courbure d’une courbe gauche s'exprime au moyen d'un radical, la courbure totale s'exprime rationnellement et par suite a un signe, celui de r£— s?. Ce signe peut encore s’interpréter au moyen de la représentation sphérique. Imaginons deux observateurs, couchés respectivement sur les normales en deux points correspondants LE et de S, les pieds sur la surface et la tête sur la direction positive de la normale. Lorsque le premier observateur décrit le contour de l'aire ds de facon à avoir cette aire à sa gauche, le second observateur décrit le contour de l'aire sphériqne ds', en laissant cette aire à sa gauche ou à sa droite:

rt — s?, et par suite —— est positif dans le premier cas et négatif dans le

RR second cas (n°° 424, 144).