IIT. — NOTIONS SUR LES SYSTÈMES DE DROITES

La position d’une droite dans l’espace dépend de quatre paramètres variables. On peut donc considérer des assemblages de droites dépendant d’un, deux ou trois paramètres variables, suivant le nombre des relations qu’on établit entre les quatre paramètres dont dépend la position d’une droite. Une droite mobile, dépendant d’un paramètre variable, engendre une surface réglée. L'ensemble des droites qui dépendent de deux paramètres variables distincts est une congruence de droites. Enfin on appelle complexe de droites tout système de droites dépendant de éroës paramètres.

(LR 4o

254. Surfaces réglées. — Soient, dans un système d’axes rectangulaires,

(54) T=a3+p, ÿ—=0bz+q

les équations de la génératrice mobile G, à, d, p, q étant des foncions d’un paramètre variable w. Nous allons étudier comment varie la position du plan tangent à la surface S engendrée par cette droite, lorsque le point de contact se déplace sur la génératrice G. Les équations (54), jointes à l’équation 3 — :, donnent les expressions des coordonnées d’un point quelconque de la surface en fonction des paramètres indépendants 3 et u; l'équation du plan tangent est alors (n° 64)

X — zx Y— y ZL—3 a b I fe

a!, b', p', q' étant les dérivées de a, b, p, q par rapport à u: En remplaçant + par az + p, y par bz + q, et développant le déterminant, cette équation s'écrit

(55) (b'z+gqg')(X—-al—p)—(a z+p')(Y—bL—q)=0o.

Nous voyons d’abord que ce plan passe constamment par la génératrice G, ce qui était évident a priori, et en outre que ce plan tourne autour de la génératrice lorsque le point de contact décrit

a" 3 + p' pe k se PR LT: indépendante b'z+q

de z, c’est-à-dire à moins qu’on n’ait a'g' —b'p'—0, cas que

cette droite, à moins que la fraction

nous éearterons tout d'abord. La fraction précédente étant du premier degré en 5, tout plan passant par la génératrice est tangent à la surface en un point de cette génératrice et en un seul. Lorsque le point de contact s'éloigne indéfiniment sur la génératrice, le plan tangent tend vers un plan limite P’, qu'on appelle le plan tangent au point à l'infini sur la génératrice et qui est représenté par l’équation

(56) D'(X—al—p)—a(Y—bZ—qg)—=o.

. ) / i z Soit w l’angle de ce plan P' avec le plan tangent au point (x, y, z) de la génératrice. Les paramètres directeurs des normales à ces

COS W — 50 b?+ (ab'— ba'}]z?

III. — NOTIONS SUR LES SYSTÈMES DE DROITES. 627 deux plans sont respectivement b/, — a!, a b— ab! et b'z+ q", — (43 + p'), b(a!z + pl) — a(b'5 + q'); on a donc

les

[a?+ 82+ (ab'— ba'}T *\[a2+ b?+ (ab — ba'}]z

+ d'g'+ a'p'+(ab'— ba')(ag'— bp')\

et l’on en tire, par un calcul facile,

(ag 16 pt) Va Haies

tang w ==

Le plan tangent est perpendiculaire au plan P’ en un point O, de la génératrice dont la coordonnée 3, est donnée par la formule F a'p'+b'q'+(ab'— ba')(aqg'— bp') (58) LT td PT VINS SU PATATE EN TE a?+ b?+(ab'— ba'}?

ce point O, est appelé point central de la génératrice, et le plan

tangent en ce point est le plan central P. L’angle 0 que fait le plan tangent en un autre point de la génératrice avec le plan cen-

LA \ T F A 4 tral est égal à ; — %,et la formule (57) peut être remplacée par la suivante :

Va [a?+ 024 (ab'— ba Pie)

(ag —6'p}yit ab

Soit p la distance du point central au point de contact M du plan P p E tangent, précédée du signe + ou du signe —, suivant que la direcuon O,M fait un angle aigu avec Oz ou un angle obtus. On a 5 D 5

Ds Z7;)V/1v+ ab, et l'on peut encore écrire la formule

(59) tang0 = Ko,

en posant

1'2 + b"? b'— ba'}?

(60) 0 Se on (aq —b'p')(1+ a?+ b?)

le facteur Æ est le paramètre de distribution. La formule (59) est l'expression, sous une forme très simple, de la loi suivant laquelle le plan tangent tourne autour de la génératrice. Cette formule ne renferme que des éléments ayant une signification géométrique; nous verrous en effet, un peu plus loin, comment on peut définir

directement le paramètre k. Gete formule (59) présente cependant quelque ambiguïté, parce qu'on ne voit pas tout de suite dans quel sens on doit compter l’angle Ô. Autrement dit, on ne sait pas a priori comment tourne le plan tangent autour de la génératrice, lorsque le point de contact se déplace. Ce sens de rotation est donné précisément par le signe de #.

Pour bien saisir ce point, imaginons un observateur couché sur la génératrice G : lorsque le point de contact se déplace en marchant des pieds vers la tête, cet observateur voit le plan tangent tourner de sa gauche vers sa droite ou de sa droite vers sa gauche. Il suffit d’un peu de réflexion pour reconnaître que le sens de rotation ainsi défini reste le même lorsque l'observateur se retourne sur la génératrice de façon à avoir la tête où il avait les pieds et inversement. Deux paraboloïdes hyperboliques ayant une génératrice commune, et symétriques par rapport à un plan passant par cette génératrice, donnent une idée nette de ces deux dispositions. Cela posé, imaginons qu’on déplace d’une façon continue le trièdre des axes de coordonnées de façon à amener l’origine au point central O,, l’axe des 3 venant coïncider avec la génératrice et le plan des 33 avec le plan central. Il est clair que le paramètre de distribution conserve une valeur constante, el la formule (59) devient, dans le nouveau système d’axes,

(5a bis) tang6 = «2,

6 désignant l’angle du plan tangent avec le plan y —0 compté dans un sens convenable. l

Pour la valeur w, du paramètre qui correspond à l’axe Oz, on doit avoir a b—=p—=gq—=0, et l'équation du plan tangent (55) se réduit ici à

(b'za+qg')X—(a's+p)Y=o.

Pour que l’origine soit le point central et le plan des +3 le plan

central, il faut qu'on ait 4 —0, g'=0, et l'équation du plan

| \ e be :

tangent devient Y = , tandis que la formule (60) donne k = — 2 On voit donc que, dans la formule (59 bis), on doit

P compter l'angle 0 de Oy vers Ozx. Si le trièdre des axes a la dispo-

sition adoptée plus haut (n° 231), un observateur couché sur Oz verra le plan tangent tourner de gauche à droite si Æ est posiuf, et de droite à gauche si Æ est négatif.