II[. — NOTIONS SUR LES SYSTÈMES DE DROITES

On appelle ligne de striction d’une surface réglée, le lieu des points centraux des différentes génératrices. Les coordonnées d’un point de cette ligne en fonction du paramètre # sont données par les équations (54) et (58).

Remarque. — Si l'on a, pour la génératrice considérée, a'q = b'p', le plan tangent reste le même tout le long de la génératrice. Lorsque cette relation est vérifiée pour toutes les valeurs de u, la surface réglée est développable (n° 215), et il est facile de retrouver les résultats déjà établis. En effet, si a’ et b' ne sont pas nuls en même temps, le plan tangent est le même en tous les points

de G et devient indéterminé pour le point g=—{?,—

à-dire pour le point de contact de la génératrice avec son enveloppe. En tenant compte de la relation a'q'— b'p'= o, on vérifie aisément que la valeur de 3, donnée par la formule (58) est identique à la précédente, La ligne de striction se confond avec l'arête de rebroussement; quant au paramètre de distribution, il est infini. Si a'— b'— 0, la surface est un cylindre; le point central est indéterminé.

Le point central et le paramètre de distribution peuvent être définis d’une autre façon. Considérons, en même temps que la génératrice G, une génératrice voisine G,, correspondant à la valeur w + h du paramètre, et représentée par les équatons

(Gr) æ=(a+Aa)s + p + Ap, y =(b + Ab)z + g+ Ag.

Soient Ô la plus courte distance des deux droites G et G,, x l'angle de ces droites et X, Y, Z les coordonnées du point de rencontre de G avec la perpendiculaire commune. Des formules bien connues de Géométrie analytique nous donnent

ARE. Aa Ag + Ab Ap + (a Ab — bAa)[(a+ Aa) Ag —(b+Ab)Ap| (Aa)?+ (Ad) + (a Ab — b Aa)?

Aa Ag — Ab Ap

sin &æ —

Lorsque tend vers zéro, Z a pour limite l’expression trouvée

‘ in œ RQ” ; 3 dis que — ur limite k. L ral plus haut pour 3,, tandis que —— a pour limite k. Le point centra

est donc la position limite du pied de la perpendiculaire commune à G et à une génératrice infiniment voisine, tandis que le para-

: Ken " RUE sin œ mètre de distribution est la limite du rapport KE

Remplaçons dans l'expression de à, Aa, Ab, Ap, Ag par leurs développements suivant les puissances de , on obtient pour le développement du numérateur

h3 | Aa Ag; Ab Ap=h?(aiq 7 0p)#+ —(a"g'+ a'g"—b'p'—b'p") +...,

tandis que le dénominateur est toujours du premier ordre en h. On voit que à est en général un infiniment petit du premier ordre, sauf dans le cas des surfaces développables, où l’on a a'g'—b'p=o.

Mais le coefficient de il est la dérivée de a!qg —b'p'; ce coefli-

cient est donc nul aussi et, par conséquent, dans une surface développable, la plus courte distance de deux génératrices infiniment voisines est du troisième ordre (n° 233). Cette remarque est due à M. Bouquet, qui a montré, en outre, que celte distance ne peut être constamment du quatrième ordre que si elle est nulle, c’està-dire dans le cas des tangentes à une courbe plane ou des surfaces coniques. Îl suffit, pour le voir, de pousser le développement de Aa Ag — Ab Ap jusqu'aux termes du quatrième ordre.

955. Congruences. Surface focale. — Tout ensemble de droites (62) =u2+p, N Ye 054,

a, b, p, g dépendant de deux paramètres variables a, B, est appelé congruences de droites. Par un point de l’espace, il passe en général un certain nombre de droites de la congruence, car on a deux équations pour déterminer « et 8, si l’on suppose #, y, 4 connues. Si l’on établit une relation entre les paramètres « et 6, la droite G représentée par les équations (62) engendre une surface réglée qui n’est pas en général une surface développable. Pour que cette surface soit développable, il faudra

qu'on ait

da dg — db dp =,

Ô da ou, en remplaçant da par D TT ÉHTRRE ï da DA 0a CLEO 0q ce PONS TA SL EE

(63) (F da + y d )(Z di + dt)