III, — NOTIONS SUR LES SYSTÈMES DE DROITES

; | d De cette équation du second degré en E on tire deux valeurs, en

da général distinctes, pour > dé de 6 — 2= Al û | — —= | 9 L (64) des) ge vie Ê)

Sous des conditions très générales qui seront précisées plus tard et que nous supposerons remplies, chacune de ces équations est vérifiée par une infinité de fonctions de x; chacune d’elles admet une intégrale, et une seule, prenant la valeur Ê, pour à — &«,. Toute droite G de la congruence appartient donc à deux surfaces développables, dont toutes les génératrices sont également des droites de la congruence. Soient let T” les arêtes de rebroussement de ces deux développables, À et Ales points de contact de G avec F et [” respectivement. Ces deux points À et A’ s'appellent les points focaux de la génératrice. On les obtient comme :il suit, sans qu'il soit nécessaire d’avoir intégré l’équation (63) qui donne les développables de la congruence. La coordonnée z de l’un de ces points doit satisfaire à la fois aux deux relations

z da + dp = 0, 3 db + dq = 0,

ou, en remplaçant da, db, dp, dg par leurs développements,

\ da of 0 03 [0b ob 0q US A s(d+ T8) +5 du + D dB = 0

En éliminant 3 entre ces deux relations, on retrouve l’équation (63),

d8 mais si l’on élimine le rapport Ta? 91 obtient une équation du second

degré qui détermine les deux points focaux

; da dp db 0dgq GET ANT SC LC AU Gare) (set) (ut e)Cutre)=e

Le lieu des points focaux À, A" se compose de deux nappes de surfaces Z, 2’ dont on obtiendrait l’équation en éliminant « et 6 entre (62) et (65). Ges deux nappes ne sont pas d’ailleurs analytiquement distinctes, en général, mais constituent deux nappes d’une même surface. Ce sont les deux nappes de la surface focale. Gette surface focale est aussi le lieu des arêtes de rebroussement des développables de la congruence. Il est clair en effet que, d’après la définition même de la courbe F', la tangente à cette courbe en un point quelconque À appartient à la congruence, et que le point À est un de ses points focaux. Toute droite de la congruence est tangente aux deux nappes À, 2’, puisque cette droite est tangente à deux courbes situées respectivement sur ces deux nappes.

Il est facile, en reprenant un raisonnement déjà employé (n° 247) de trouver les plans tangents en A et A’ aux surfaces Z et 2° (Jig. 43). Imaginons, par exemple, que la droite G se déplace en restant tangente à T'; cette droite reste aussi tangente à la surface Z', et son point de contact A' avec cette nappe décrit une courbe y’ qui est nécessairement distincte de la courbe ['. La surface développable engendrée par G est donc rangente en À’ à Z', puisque les deux plans tangents ont en commun la droite G et la tangente à y’. Il s'ensuit que le plan tangent en A’ à Z'est précisément le plan osculateur à la courbe T au point A. On verrait de même que le plan tangent en À à £ est le plan osculateur en A à la courbe L’. Ces deux plans sont appelés plans focaux.

Ces plans focaux peuvent se déterminer directement comme il suit. Soit

æ—az—p+A(y—-bz—-qg)=0 l'équation d’un plan focal passant par une droite G de la congruence. Lorsque cette droite se déplace en engendrant une développable de la congruence, &, 8 et À sont des fonctions d’un paramètre variable, telles que la caractéristique de ce plan mobile est la droite G elle-même. Or cette caractéristique est l'intersection du plan mobile avec le plan qui a pour équation — zda— dp+di(y—bz—q)—(z db + dq)=0o.

Pour que ce second plan passe par la droite G, il faut que l’on ait da + À db = 0, dp + À dq = 0.

L’élimination de À conduit à l'équation (63), mais, si l’on élimine le rapap

port = on obtient une équation du second degré en À qui détermine les lo

deux plans focaux

: oa 0b op 0q da 0b 0p ONE (66) (+32) (+) (5 +12) (4x) =e.

Il peut arriver que l’une des nappes de la surface focale se réduise à une courbe C. Les droites de la congruence restent alors tangentes à la nappe 2 et rencontrent la courbe GC; l’une des familles de développables se compose des cônes circonscrits à la surface Z, ayant pour sommets les différents points de C. Si les deux nappes de la surface focale se réduisent à deux courbes CG, C', les deux familles de développables sont formées par les cônes ayant leurs sommets sur l’une des courbes et passant par l’autre courbe. Lorsque les deux courbes G, C’ sont des lignes droites, on a une congruence linéaire.

2956. Congruënces de normales. — Les normales à une surface forment évidemment une congruence, mais la réciproque n’est pas vraie; il