III. — NOTIONS SUR LES SYSTÈMES DE DROITES

n'existe pas toujours de surface normale à toutes les droites d’une congruence. En effet, si l’on considère la congruence formée par les normales à une surface S, les deux nappes de la surface focale sont précisément les deux nappes £, 2’ de la développée de S (n° 247), et nous avons vu qu'aux deux points de contact À, A’ de la normale avec les deux nappes les plans tangents étaient rectangulaires. Cette propriété caractérise les congruences de normales. Cherchons, en effet, la condition pour que la droite (62) reste normale à une surface: il faut et il suffit pour cela qu’il existe une fonction f(4, Ê) telle que la surface S représentée par les équations

NE a PRES LT 0] (67) T=Az+p, Jÿ =bsz+3g, Me D( 6.) ait précisément pour normale la droite G elle-même. Il faut pour cela qu’on

ait

a = du dx du É DER ON ie sr 08 DA Re DOM

ces conditions deviennent, en remplaçant x par as + p, y par bz + g, et

en divisant par Wa? b? 1,

: Op , 0q (Ve ET) + É “ 10; 9 a+ b?+ 1 (68) a P dq 0 A 08 —(zVa?+ b2+:)- 0.

(av VE

Pour qu’elles soient compatibles, il faut et il suffit qu’on ait

(69) LA 0x 0% Prat of 06 |.

| 08 Va?+ bt+1 0x Vai+b+: ;

si cette condition est vérifiée, les équations (68) donneront 3 par une quadrature. Les surfaces obtenues dépendent d’une constante introduite par l'intégration et forment une famille de surfaces parallèles.

Nous savons déjà (n° 247) que dans ce cas les plans focaux sont rectangulaires. Pour démontrer la réciproque, remarquens que la condition d’orthogonalité des deux plans focaux passant par une droite quelconque de la congruence est

RES hho+(a+bi) (a + b }2) = O,

M; A2 étant les deux racines de l’équation (66). En remplaçant À1+ }

et À1À2 par leurs valeurs, cette condition devient

(OP ESS Le HU Mes pra hs ab Es 4) en Dis r.]

D(a, 6) Dax, 6) D(a, B) Da; $) et elle est identique à la condition (69). Nous pouvons donc énoncer l’im— portante proposition suivante : Pour qu'une congruence de droites soit formée de normales à une surface, il faut et il suffit que les plans focaux passant par chaque droite de la congruence soient rectangulaires.

Remarque. — Lorsqu'on prend pour paramètres variables x, P, les cosinus des angles que fait la droite avec les axes Ox et Oy,ona

du D ARE ET | = ———— b= tr, VER AAUE

PERS AE rs pen 27%. | GIP Ta Wie 6? V'i-— a? — (2

les équations (61) deviennent

et la condition d’intégrabilité (69) se réduit à = ne Elle exprime que p

et g sont les dérivées partielles d’une même RU F(x, 8), qui s'obtient # 0F e

par une quadrature, p =» q = TR . On a ensuite z par l’intégration de

l'équation aux ram totales z | 2F XF \ 2F 2F ot 04? + 8508) 4 du — (2 02 08 ADS ) 48,

d’où l’on tire oF 0F = Vi E(C+ F2 8):

C étant une constante arbitraire.

937. Théorème de Malus. — Lorsque les rayons lumineux issus d’un point sont réfléchis ou réfractés par une surface, ils sont normaux à une famille de surfaces parallèles, après la réflexion ou la réfraction. Ce théo— rème, dû à Malus, a été étendu au cas d’un nombre quelconque de réflexions ou de réfractions par Cauchy, Dupin, Gergonne et Quételet, et l’on peut énoncer la proposition générale suivante :

Si des rayons lumineux sont normaux à une surface, ils ne cessent