III. — NOTIONS SUR LES SYSTÈMES DE DROITES

pas de conserver cette propriété après un nombre quelconque de réflexions et de réfractions.

La réflexion pouvant être considérée comme une réfraction d’indice —1, il suffit évidemment de démontrer le théorème pour une réfraction unique. Soient S une surface normale aux rayons lumineux, mM un rayonincident qui rencontre en M la surface dirimante X, MR le rayon réfracté. D'après la loi de Descartes, le rayon incident Mn, le rayon réfracté MR et la normale MN sont dans un même plan, et l’on a entre les angles £ et r (voir Jtg. 44) la relation n sini = sinr. Pour fixer les idées, nous supposerons,

Fig. 44.

comme dans le cas de la figure, n <1. Soit Z la distance Mm; sur le prolongement du rayon réfracté portons une longueur / = Mm' égale à k fois la longueur /, désignant un facteur constant qui sera déterminé tout à l'heure. Le point m' décrit une surface S’, et l’on peut choisir le facteur Æ de façon que le rayon réfracté Mn’ soit normal à cette surface. En effet, soit G une courbe quelconque située sur S; lorsque le point m décrit C, le point M où le rayon incident perce X décrit une courbe F, et le point correspondant m’ décrit sur S’ une autre courbe C’. Soient 5, 0,5’ les arcs des trois courbes C, T, C', w l’angle de la tangente MT; à T avec la trace MT sur le plan tangent du plan normal qui passe par le rayon incident, # et +’ les angles de MT; avec Mm et Mm’. Pour évaluer cos ®, par exemple, imaginons que l’on projette sur MT; une longueur égale à l'unité portée sur Mn; on peut d’abord projeter cette longueur sur MT, et projeter ensuite cette projection sur MT;, ce qui donne cos® = sin cosw et l’on a de même cos®’= sin cosw. Cela étant, appliquons la formule (16) (n° 84), qui donne la différentielle d’un segment de droite aux deux segments Mm, Mm'; on a

di — — ds cosw sinz,

dl'=— ds cosw sinr — ds! cosb,

en appelant 0 l’angle de n'M avec la tangente à la courbe C/. On déduit

de là, en remplaçant d{' par Æ dl, la relation cosw ds(ksini— sinr)= ds’ cosb,

qui devient, en supposant #= n, ds'cosû — 0. Le rayon M m'est donc normal à la courbe C', et, comme C’est une courbe quelconque de la surface S', il s’ensuit que le rayon réfracté est précisément la normale à la surface S’. Cette surface S' s'appelle l'anticaustique ou la caustique secondaire. Il est clair qu’elle est l'enveloppe de la sphère décrite du point M comme centre avec un rayon égal à n fois la longueur Mn, et le résultat obtenu peut s'énoncer ainsi :

Si les rayons incidents sont normaux à une surface S, considérons cette surface comme l'enveloppe de sphères ayant leurs centres sur la surface dirimante 3. Pour obtenir l'anticaustique relative aux rayons réfractés, il faut prendre l'enveloppe de toutes les sphères qu'on obtient en réduisant le rayon des précédentes dans le rapport de l'unité à l'indice de réfraction.

Cette enveloppe se compose de deux nappes, correspondant à des valeurs de l'indice de réfraction égales et de signes contraires. Il sera impossible, en général, de séparer analytiquement ces deux nappes.

958. Complexes. — Un complexe de droites est formé par l’ensemble des droites qui dépendent de trois paramètres variables, Soient fous T= 43 +D, 03 44

les équations d’une droite; tout complexe de droites est défini par une certaine relation entre &, b, p, q

(72) Fa, b,p, g)=0,

et inversement. Si F est un polynome entier en @, b,p,gq, le complexe est algébrique. Les droites du complexe passant par un point donné (&, yo, 30) forment un cône avant ce point pour sommet, dont on obtiendra l'équation en éliminant à, b, p, q entre les relations (71), (72) et (73)

(ro) LTo—= AZ + P; Vo 0 5000

l'équation du cône du complexe est donc

Mie Loi ls Vi MM 2% 60 = Arai qe EN

RE BR DL ARTE EN 3 — Z0 3 — Z De même dans chaque plan il y a une infinité de droites appartenant au complexe; ces droites enveloppent une courbe appelée courbe du complexe. Si le complexe est algébrique, l'ordre du cône du complexe est égal à la classe de la courbe du complexe. Supposons en effet qu'on veuille

ni]