III. — NOTIONS SUR LES SYSTÈMES DE DROITES

avoir les droites du complexe passant par un point donné A et situées dans un plan P passant par ce point. On peut pour cela procéder de deux façons : on peut couper par le plan P le cône du complexe ayant son sommet en À, ou mener par le point A les tangentes à la courbe du complexe située dans le plan P. Comme on doit trouver le même nombre de droites, il en résulte l'exactitude du théorème énoncé.

Si le cône du complexe se réduit à un plan, le complexe est dit Zinéaire et l'équation (72) est de la forme

Cr) Aa+Bb+Cp+Dg<+E(ag—bp)+F=o;

le lieu des droites du complexe qui passent par un point #6, Yo, 30 est le plan représenté par l'équation

(76) Az — &0) + B(y — Yo) + C(ToZ — 204) + D(yo2z— 207) + E(YoZ — toy) + F(3 — 29) = 0.

La courbe du complexe, devant être de classe un, se réduit à un point, c’est-à-dire que toutes les droites du complexe situées dans un plan passent par un point de ce plan, appelé pôle ou foyer. Un complexe linéaire établit donc une liaison entre les points et les plans dans l’espace, de telle facon qu’à un point correspond un plan passant par ce point, et à un plan correspond un point situé dans le plan. Il y a aussi une correspondance entre les droites de l’espace. Soit D une droite n’appartenant pas au complexe: soient F et F' les foyers de deux plans passant par cette droite et A la droite qui les joint. Tout plan passant par A a pour foyer le point © où il rencontre la droite D, car les droites ®F, © F” font évidemment partie du complexe. Il en résulte que toute droite rencontrant D et A fait partie du complexe, et enfin que le foyer d’un plan passant par D est le point de rencontre de ce plan avec la droite A. Les deux droites D et À sont dites droites conjuguées; chacune d'elles est le lieu des foyers des plans passant par l’autre.

Si la droite D s’en va à l'infini, les plans passant par D deviennent parallèles, et l’on voit que le lieu des foyers des plans parallèles à un plan fixe est une droite. Il existe toujours un plan tel que le lieu des foyers des plans parallèles soit une droite perpendiculaire à ce plan. Si l’on a pris cette droite pour axe des z, le plan qui a pour foyer un point quelconque de Oz doit être parallèle au plan z — 0. D’après l'équation (76), il faut et il suffit pour cela qu’on ait À = B — GC = D — 0; l’équation du complexe prend la forme simple

(79 aq —bp+K=o, et le plan dont le foyer est au point (x, y, 3) a pour équation (738) Xy—Yx+K(Z—z)=o,

X, YŸ, Z étant les coordonnées courantes.

Comme application, cherchons les courbes dont les tangentes font partie du complexe précédent. Étant donnée une courbé de cette espèce, dont les coordonnées x, y, z sont fonctions d'un paramètre variable, la tangente en un point de cette courbe est représentée par les équations

D UD (rs A NA) de EN dy Hi PIAR AL

pour que cette droite fasse partie du complexe, il faut et il suffit qu’elle soit située dans le plan (58), qui a pour foyer le point (x, y, z), c'est-à-dire qu'on ait

(79) x dy — y dx = K dz.

On a vu plus haut (n° 226) comment on pouvait obtenir toutes les fonctions x, y, z d'un paramètre variable satisfaisant à cette relation; on a donc toutes les courbes répondant à la question.

Les résultats obtenus au n° 226 s’énoncent aisément dans la théorie des complexes. Ainsi, en différentiant l'équation (79), il vient

(80) x y — y dx = K dz,

et les relations (79) et (80) montrent que le plan osculateur au point (æ, y, 2) est précisément le plan (78). On peut donc énoncer la proposition suivante : Lorsque les tangentes à une courbe gauche appartiennent à un complexe linéaire, le plan osculatenr en un point de cette courbe est le plan qui a ce point pour foyer. ( APPELL.)

Imaginons que d’un point O de l’espace on veuille mener des plans. osculateurs à une courbe gauche T dont les tangentes font partie d'un complexe linéaire. Soit M le point de contact d’un de ces plans. D’aprèsle théorème précédent, la droite MO est une droite du complexe et par suite le point M est dans le plan qui a pour foyer ce point O. Inversement, si le point M de la courbe T est dans ce plan, la droite MO, qui appartient au complexe, est dans le plan osculateur en M, et ce plan osculateur passe au point O. Les points cherchés sont donc à l'intersection de la courbe F et du plan qui a le point O pour foyer (cf. n° 226).

Les complexes linéaires se présentent dans un grand nombres de théories géométriques et mécaniques [ voir, par exemple, la Thèse de Doctorat de M. Appell et celle de M. Picard (1)].

(1) Annales scientifiques de l’École Normale supérieure, 1876 ét 107%

1. Trouver les lignes de courbure de la surface développable, enveloppe du plan mobile représenté en coordonnées rectangulaires par l'équation

z=ax+yo(a)+Ry1i+a+v(a),

où « est un paramètre variable, ow(x) une fonction arbitraire de ce paramètre et R une constante donnée.

[ LIcENCE : Paris; août 1871.]

2. a, b, a, Ê étant des fonctions d’un paramètre variable, on demande les conditions pour que la droite x = az + x, y = bz+8 engendre une surface développable dont les lignes de courbure normales aux génératrices soient situées sur des sphères concentriques.

[ Licence : Paris; juillet 1872.]

3. Déterminer les lignes de courbure de la surface représentée, en coordonnées rectangulaires, par l'équation e% = cosx cos y.

[ LICENCE : Paris; juillet 1875.]

4. Etant donné un ellipsoïde à trois axes inégaux, représenté en coordonnées rectangulaires par l’équation dv? V2 3?

NA re do

on considère l’ellipse E située dans le plan des æ3. On demande, pour chaque point M de cette ellipse E : 1° les expressions des rayons de courbure principaux R;, R; de l’ellipsoïde; 2° la relation qui existe entre R; et R;; 3° le lieu des centres de courbure des sections principales, lorsque le point M se déplace sur l’ellipse E.

[ Licence : Paris; novembre 18737.]

5. 1° Former l’équation du second degré qui donne les rayons de courbure principaux en un point quelconque du paraboloïde défini, en coordonnées rectangulaires, par l’équation

EAP RS a bd

2° Exprimer, en fonction de la variable z, chacun des deux rayons de courbure principaux, pour tout point de la ligne de rencontre du parabo-

loïde proposé avec le paraboloïde défini par l’équation