AR AR A SN FE; À DERX
[Licence : Paris; novembre 1880.|
6. Déterminer le lieu des centres de courbure des sections principales du paraboloïde æy = az, aux différents points de l’axe Ox. |
[ Licence : Paris; juillet 1883.]
7. Trouver l'équation de la surface, lieu des centres de courbure des sections planes d’une surface donnée S, passant en un point donné M de cette surface.
8. On donne une surface du second degré et une tangente MT en un point M de cette surface. On mène un plan passant par MT et l’on prend le centre de courbure O de la section plane, puis le centre de courbure O° de la développée de la section plane. Trouver le lieu du point O' lorsque le plan sécant tourne autour de MT.
[ Licence : Clermont; juillet 1883.]
9. Déterminer les lignes asymptotiques du tore engendré par un cercle tournant autour d’une de ses tangentes.
[ LICENCE : Paris; novembre 1882.]
10. Soient Oz, Oy, Oz trois axes de coordonnées rectangulaires et dans le plan z0x une courbe donnée C. Une surface est engendrée par une circonférence dont le plan reste parallèle au plan æ0Yy, dont le centre décrit la courbe C et qui rencontre constamment l’axe Oz.
On demande de former l'équation différentielle des lignes asymptotiques de la surface en prenant pour variables la coordonnée z d’un point quelconque et l’angle 0 du rayon du cercle qui passe en ce point avec la trace du plan du cercle sur le plan z0x. Appliquer au cas où la courbe CG est une parabole ayant le point O pour sommet et la droite Ox pour axe.
[ Licence : Paris; juillet 1880.]
11. Déterminer les lignes asymptotiques d’une surface réglée, qui est tangente à une autre surface réglée en tous les points d’une génératrice A de la seconde surface, toutes les génératrices de la première surface rencontrant la droite A.
19. Trouver sur l'hélicoïde droit les lignes dont le plan osculateur contient la normale à la surface.
[ Licence : Paris; juillet 1876.]
EXERCICES. G4r
13. On demande les lignes asymptotiques de la surface réglée représentée par les équations
æ=(1+u) cose, J =(1—-u)sin», 3=u, [ Licence : Nancy; novembre 1900.]
14*. Étant données une surface S et une droite À, les sections de la surface par des plans menés par la droite À, et les courbes de contact des cônes circonscrits à S ayant leurs sommets sur À, forment un réseau conjJugué.
‘ | KOENI GS. |
15°. Lorsque trois points d’une droite invariable décrivent trois plans rectangulaires, la droite demeure constamment normale à une famille de surfaces parallèles. On obtient l’une de ces surfaces en prenant le lieu du milieu du segment formé par le point où cette droite coupe l’un des plans coordonnés et par le pied de la perpendiculaire abaissée de l'origine sur
la droite.
[Darsoux, Comptes rendus, 1. XCI, 1881, p. 446.]
16°. Sur toute surface, on connaît une ligne de courbure imaginaire : c'est le lieu des points pour lesquels on a 1 + p?+ g?= 0.
On montre pour cela que l'équation différentielle des lignes de courbure peut être mise sous la forme
(dp dy — dq dx )(1+ p? + g)+(p dy — q dx)(p dp + q dg) = 0. [ DarBoux, Annales de l'École Normale; 1884.]
17°. Formule de Laguerre. — Soit F(x, y, 3)—0 l'équation d’une surface S; lorsque le point (x, y, z) décrit une courbe F sur cette surface,
les différentielles jusqu’au 3° ordre vérifient les trois relations (n° 26)
oF oF oF
(1) D De et LT CIRE AR ROBE RO: Set GE ANNE D oF oF oF — Br + — dy + — B3z (3) me. À ou Re )F \ dF \ 2F +34(à) de+3d(T)dy+sd(t) 23 OT V4 A ÿ 93
dB dy 0 pe
dont la première exprime qu’il y a un plan tangent, tandis que la seconde est équivalente au théorème de Meusnier, Pour interpréter géométrique-
G., I. fa
Le: OF 9F 0F ; ment la troisième, nous pouvons y remplacer > pi 5) PAr les cosinus
directeurs h, 1, y de la normale. On a, en effet,
où l’on a posé oF \? oF\2 OLINE H = ———— — — —- NS , 0x 0Y 03 et, en tenant compte de la relation (2), la troisième équation peut s’'écrire
Àdiæ+udy+vdiz + 3[dà dx + du d'y + dv d?z] = (x, ÿ,2, dx, dy, ds),
d étant une forme cubique en dx, dy, ds dont les coefficients ne dépendent que de x, y, 5. En divisant par ds3, on en conclut que l’'expression
UE dy : d3 2 [Te dx du dy | DK
ER D As LAS? ds ds? ds ds?
a la même valeur en un point de la surface pour toutes les courbes situées sur la surface et tangentes en ce point, résultat que l'on pourrait aussi
obtenir en différentiant la formule (7) du n° 239, et en tenant compte des
expressions de D, DD à NOUS DRE \ Remplaçons maintenant les dérivées "TP ieTen RS par leurs valeurs dé-
duites des formules de Frenet (n° 233). L'expression précédente devient
Le ML SL OI , ; LU SUIS RE ds er TE PEN RS
6 étant l’angle de la normale à la surface avec la normale principale. D'autre part, en différentiant la relation
cos0 = hd'+ ufB'+vy, il vient dô UE
0 LR du 7e dy (2 a” ein 0 — "al 4 Er ANNE ds SL AU MAL R n
