ESS NT
en observant que la binormale coïncide avec la normale à la surface. On facilite le calcul en prenant pour origine un point de la surface, le plan tangent pour plan des zy, et la tangente à la ligne asymptotique pour axe des y. On peut aussi déduire la formule d'Enneper de la formule (51 bts)
19°. Formule de Belirami. — Soient po le rayon de courbure d’une ligne asymptotique, : le rayon de courbure de la branche de l'intersection le) | FC URt ÿ
de la surface par le plan tangent qui est tangente à la ligne asymptotique ; on à
R. La surface étant représentée par l'équation 3 = 20xy + cy?+ Axi+ 3Bry +...
la section de la surface par le plan 3 — 0 à une branche langente à l'axe des æ, dont l’équation est
CHAT D HT et l’on à pour l’origine A y'=0, VAR NE b
D'autre part, la valeur de y” à l’origine pour la ligne asymptotique se déduit aisément de l’équation différentielle de ces lignes
(GAz+...)+(4b+...)y'+(2c+...)y"22= 0.
[BELrramI, Nouvelles Annales de Mathématiques, 2° série, t, IV, p. 258; r865.]
La formule classique de différentiation sous le signe fe 98)
s'étend immédiatement aux intégrales curvilignes et aux intégrales multiples lorsque le chemin d'intégration ou le champ d'intégration est invariable, pourvu que la fonction soumise à l'intégration soit continue et admette une dérivée continue par rapport au paramètre variable. Cette extension présente plus de difficulté lorsque le chemin d'intégration, ou le champ d'intégration, est lui-même variable. Nous supposerons que les
fonctions sous le signe d’intégration sont continues, ainsi que toutes leurs dérivées qui figurent dans le calcul, dans les limites de l'intégration.
4. Intégrales curvilignes. — Un arc de courbe l' représenté par les
formules Dies JUL) APE CE 3 = Y(t),
où € varie de £o à t1> to, est dit régulier, si les fonctions f, w, Ÿ, conti nues de to à 1, ont des dérivées f’(t), ®'(£), Y'(#), continues dans le même intervalle. Une courbe ordinaire est formé par un nombre fini d’ares réguliers mis bout à bout; une telle courbe peut avoir un nombre fini de points anguleux, c'est-à-dire que les dérivées f'(t), w'(#), Y’(é) peuvent avoir un nombre fini de points de discontinuité de première espèce entre t, et ti. Nous ne considérons que des intégrales curvilignes prises le long de courbes ordinaires.
Soient æ=f(t,%), y = 9(4,4), 3 = (ta)
les équations d’une famille decourbes L, dépendant d’un paramètre Variable «; les fonctions f, ?, Ÿ, ainsi que toutes les dérivées qui vont figurer dans le calcul, sont supposées continues dans le domaine où varient & et é. Soient, d’autre part, {o(x) et ti(a) deux fonctions continues de «, ayant aussi une dérivée continue; l’arc AB de la courbe L' obtenu en faisant varier € de & à t, se déplace en se déformant d’une manière continue lorsque le paramètre « varie. Les extrémités À et B de cet arc se déplacent aussi en général et décrivent respectivement deux courbes 6, Y1.
FORMULES DE DIFFÉRENTIATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. 645 Les coordonnées de ces deux points (%6, Yo; 30), (æ1, JY1, 31) sont des fonctions de à qui ont pour expressions To = f(to, 4), Jo E(to,%), 30 (Lo, a), Ti f(t1, 2), Ji 9(t, &). 31 Y(h, a).
Etant données trois fonctions continues P(x, y, 3, a), Q(x, y, 3, a),
R(æ, Y, 3, a), ayant aussi des dérivées partielles continues du premier
ordre, l’intégrale définie
OR) = l P(æ,y,2,4) dx + Q(æx, y,3,a)dy + R(x, y,z3,a) dz (AB)
est une fonction de 4, dont nous nous proposons de calculer la dérivée. Il suffit évidemment de faire le calcul pour l'intégrale
RACE fé Re es iu) de, (AB)
que nous écrivons, en la ramenant à une intégrale définie ordinaire,
t Ita) = ES |A OF ANT 2) L at.
Le lo
À cette intégrale nous pouvons appliquer la formule classique de difrérentiation (n° 98), ce qui donne
CE
of\ dt () dt + Peas Ju ae (D) En Po Ju 202) (E) DR en intégrant par parties la seconde intégrale, on a
£ 2 t, la Der De — f ae Dee) dt 0x ot té £
da da \oæ ot y ot 03 ot
l | :19P OP of dP de dP àÿ\ of of CRE TEE CAE 2 f va
lo
et il vient, en revenant à la première notation,
oP oP dp dP 04 oP of oP of ! sé al ensure Héka) = È dx Gate A Ce 0x Ÿ 0 pe de 0y da cs dz 04 da
of dt 9)" +(PÉT+P SE)
Le terme tout intégré a une signification évidente; en effet Ja
1 VE 0e dr à ; > è È dérivée — de la fonction composée 25 = f(t, 2) de a est égale à
dr of dt LU el Oto dx ou
Le terme intégré est donc égal à la différence
1x dx dx |" P AL 1, 31, X) … NT P(æe,; Jos 30; &) s = LC 3, )T | G
Les expressions des dérivées des intégrales L(æ)=f Q& ee L(a=/f Ras / (AB) Le (AB)
se calculent de la même façon; on peut du reste les déduire de 1;(«) par pérmutation circulaire sur tr lettres æ, y, 3, et en ajoutant ces trois expressions on obtient finalement la valeur suivante de l'(x):
COMANCRRES 1 LEPTE té te
Joan, 98 d4 04
‘OP 0 () o) 1) (ER) (dr day) Jay Ô0y 0x 09. da
+ f RS) (Re r— ds) N p À 03 0Y à 0x » { + (SR -S) (La - jdæ) 1 07 0z } \ da
L d dz|f + PC Y, 2%, 2) + Q(x, 7,2, a) + R(3% D .
Pour passer au cas d’une courbe plane, il suffit de supposer 3 = Ÿ = 0, et la formule devient
; PUS EU 0Q 0P2200)6/02 of (3) La) ee | de dy (De) (ar — dr)
(AB) ch dx dy |!
+ [PC ÿs a) 7 + Q(æ, 0%] .
Nous écrirons ces formules sous une forme un peu différente en introduisant une notation empruntée au calcul des variations. U étant une fonction du paramètre «, pouvant dépendre d’autres variables, on appelle
| 4 .. OU HE variation de U et l'on représente par dU le produit Er 02, c’est-à-dire la œ
partie principale de l’accroissement de U quand on donne à « l’accroissement a, les autres variables dont peut dépendre U étant supposées conserver la même valeur. Ainsi on a
n n DATE 02, ÔP — — Ô2, .
ox
Relativement aux coordonnées des points limites A et B, une distinction
est encore nécessaire; par exemple x = f({0,«) peut être considérée comme une fonction des deux variables indépendantes #, et «, et l’on a
a 0 f(to; a) Ôu
OT — d2
Mais comme t{, est une fonction de x, #) est en réalité une fonction composée de x, et nous poserons
dx LS ji a) dt "a 0 f{ Lo. 2 | Bu
ATo= —— à do da 0%
dx
et nous définirons de même AYÿo, 430, A, Aÿ1, A3. En multipliant les deux membres de la formule (2) par ô«, on obtient l’expression de la variation Ô[ = l'(x)ôa,
(4) ce 4 SP dx + Q dy + ÔR ds
