ADO

“ [ (SF): dy y ds) Jap \9& 0 + Te) Gr ds — Ôs dr) Jap\0æ ,0%

Æ[P'Az + QAy+RAz], où l’on pose par exemple [P Az |? = PUS Pier a) Ati P(Z6,Y0; 30, &) ATo:

Le second membre de la formule (4) comprend trois termes; la première intégrale est due à la variation des fonctions P, Q, R lorsque « croît de dx, et s’obtiendrait immédiatement, en négligeant la déformation du chemin

d'intégration. Le terme en dehors du signe f ne dépend que des dépla-

cements infiniment petits des extrémités À et B du chemin d'intégration; on obtiendrait ce terme en ajoutant à l’intégrale le long de AB les deux éléments d’intégrale le long de A’A et de BB’, A' et B'étant les extrémités du nouveau chemin d'intégration A’B’ qui correspond à la valeur a +ûx du paramètre. La seconde intégrale, sur laquelle on reviendra tout à l'heure, provient de la déformation du chemin d'intégration lui-même. Les formules (2) et (4), qui n’ont été établies que pour un arc régulier, s'étendent aisément au cas où le chemin d'intégration présente un nombre fini de points anguleux. Si par exemple l’arc AB se compose de deux arcs réguliers AC, CB se rejoignant en un point C de coordonnées (%+, Ya, 32), on peut appliquer la formule (4) à chacun des arcs AG, CB; en ajoutant les deux formules, le terme P(#2,ÿ2, 32, 4) Ati+... Abe s ait et la formule (4)

s'applique encore à l’arc total AB. En particulier, si l'intégrale est prise le long d’un contour fermé, le terme en dehors du signe 1) disparaît, quelle

que soit le nombre des arcs réguliers dont se compose le contour. On en déduirait aisément les conditions nécessaires et suffisantes pour que l’intégrale curviligne

| P(æ, y,z)dr + Q(x, y,z)dy +HR(x, 712) d2!

prise le long d’une courbe quelconque TL joignant deux points À et B, ne

varie pas quand on déforme cette courbe d’une manière continue sans

changer les extrémités (n° 155).

Revenons à l'intégrale de la seconde ligne de la formule (4) provenant

de la déformation du contour. Posons

D00 WOR \ 0R. oP 0P V0