RUN ME

Ôgz 0Y 5 ox 03 6 0V 0x

e soient 2’, L’, y’ les angles de la direction positive de la tangente à F avec les directions positives des axes; l'intégrale en question n'est autre

que Je H ds, où H est égal au déterminant (AB)

LN "ns OT OV 03

2 if QD! AE COS COS © COS

Ce déterminant H est égal, au signe près, au volume du parallélépipède construit sur les trois vecteurs suivants : 1° le vecteur mm’, dont l’origine est le point m(x, y, 3) de T et l'extrémité le point m'(x + Ôx, y +Ôy, z+ 03) de la courbe variée infiniment voisine l’; 2° le vecteur m& ayant pour origine »# et pour composantes L, M, N (vecteur tourbillon); 3° le vecteur mt obtenu en portant une longueur égale à l'unité sur la direction

positive de la tangente. Soient V — VL2+ M2—+ N°? la longueur du vecteur tourbillon, èn la distance du point "à la tangente mt, 6 l’angle (de o à x) du vecteur tourbillon avec l'élément plan déterminé par mt et mm’. On a, au signe prés,

H'=W/on SIN,

et la formule est générale si l’on convient de donner un signe à ôn, le signe + si le trièdre mtm'G a la disposition du trièdre O xys, et le signe — dans le cas contraire.

La formule générale (4) peut donc s’écrire sous forme abrégée

Pts Qt

ÔLE= f àP dx + DQ dy + ÔR ds + Vônsin8 ds © (AB)

+ [P Ar + QAY“E RAS}.

Dans le cas particulier d’une courbe plane, on peut écrire la seconde

intégrale }P 0 Le (5 - me) (y dx — dr dy) HaBy RUN, PE

= 1 ee =) (cosx Ôy — cos Br) ds,

TAB) er 0œ

2” et S’ étant les angles de la direction positive de la tangente avec les axes; Ôn = cosx' y — cosB'èr représente la projection du vecteur #m' sur la

direction de la normale en 7x à L' qui fait un angle + — avec la direction

positive de la tangente (compté de O x vers O y), et la formule qui donne àl devient

)Q (GE = f ÔP dr + iQ +], Le — me) Ôn ds+[P Ax+Q 4y]#. (AB) 1e

Dans ces dernières formules, la portion de ÔI provenant de la déformation du chemin d'intégration ne dépend que du déplacement infiniment petit de chaque point » de l normalement à la tangente en /»n. Ce résultat s'explique a priori, car tout déplacement infinitésimal mm’ peut toujours se décomposer en un déplacement infinitésimal tangent à T, et un déplacement normal. La portion de [ provenant d’un déplacement tangentiel est nulle, car la courbe l se change en elle-même par cette déformation, et chaque élément de l'intégrale est remplacé par un élément infiniment voisin. Îl est clair d’ailleurs qu’il entre un élément arbitraire dans les formules qui définissent le chemin d'intégration, c’est le choix de la variable auxiliaire £. On peut remplacer { par une autre variable +, liée à 4 par une relation {= r(x, x), telle que t croisse de #o à #1 lorsque + croit de To à T1. Par ce changement de variable, les expressions de x, Ôy, dz sont modifiées, tandis que [(x) et par suite ÔI sont indépendantes du choix de la variable £. D'autre part, le premier et le troisième terme de ÔI sont eux-mêmes indépendants de ce choix; il en est donc de même du terme de ôT qui contient seul Ôx, dy, 3. Cette remarque permet de choisir à volonté le mode de correspondance entre un point m(x,7y,3) du chemin AB, et le point infiniment voisin m'(æ + 0x, y +0y, z+93) de la courbe F’ infiniment voisine, en respectant bien entendu les conditions de continuité. En particulier, on peut faire correspondre à un point m del le point m' situé sur le plan normal en » à l, ou encore choisir £ de façon que les valeurs limites {5 et {; soient indépendantes de 2; dans ce cas, les deux arcs AB et A’B’ se correspondent point par point d’une façon univoque. Pratiquement, il est inutile d’avoir les expressions explicites

Det EL), J=o(t, x), a = V(t, a),

que nous avons supposées connues pour le raisonnement, Connaissant les

deux courbes infiniment voisines l', l’, qui correspondent aux valeurs à et a + dx du paramètre, il suffira de prendre pour dx, ày, Ôz des infiniment petits du premier ordre en Ôa, tels qu’à un point (+, y, z) de l'arc AB corresponde un point (x + dx, y + dy, 3 + Ôz) situé sur [”.

Exemples. — 1° Supposons que la courbe l'soit un segment de droite AB joignant le point À (0, x) au point B {«, 0). On peut poser

TE Ve Lerl, lo —=0, = «x, ce qui donne Be A 4 nl AN JR: n To = O0, Fo — 4%, Ti = À, 1 —= 0, OT = O, OY — C4, NASA VIE 0: AYo = Ôa, Am = da.

Si l’on a LS Î P6, Ya) dx + Q(x, y, a) dy,

AR on aura donc

AD Par+iQdy+ fe CE (AB) B) \9 !

+ [P(a, 0,4) — Q(o, x, a)]dx

ou, en observant que dy + dx = 0 le long de AB,

= f GP—3Qar+ 7 (DE -) De.

+ [P(x, 0,4) — Q(0, a, 2)] da.

On pourrait poser aussi

L'E=IQES Y = A(I—t), UE O0; ARS

ce qui conduit au même résultat.

2° Quand une partie du chemin d'intégration est conservée, la seconde intégrale provenant de cette partie est nulle, puisque le déplacement normal correspondant 2 est nul. Considérons par exemple le contour fermé ABMA, composé du segment AB de O x allant du point A(—r, 0) au point B(r, o) et de la demi-circonférence décrite sur AB comme diamètre au-dessus de Or, ce contour étant décrit dans le sens direct. Soit [(r) l'intégrale

JPG J)dz + Q(x, y) dy

prise le long de ce contour. Le long de AB on à Ôn =0o et Ôn —=—ûr le long de BMA; on a donc

Eee dPAF 00 Se VL OP ETaQSR =) (one =— à f (SR)

Intégrales doubles. — Soit

I (al) = J Jr J,a) dx dy

une intégrale double étendue à un domaine D limitée par une courbe fermée T variable avec «, et composée d’un nombre fini d’arcs réguliers. Désignons par U(x, y, «) une fonction dont la dérivée par rapport à x est F. Si le domaine D est limité par une seule courbe fermée T, qui ne peut être rencontrée en plus de deux points par une parallèle à Ox, ce que nous supposerons tout d'abord, on peut prendre pour U(x, y, «) une fonction uniforme et continue dans D. Il suffira de prendre l'intégrale de

ve sou NIUE ; Rene l'équation rh F, qui s’annule en tous les points d’une courbe auxiliaire æ

de D qui coupe en un seul point les parallèles y = G. On a aussi, d’après la formule de Green,

I(a)= fi U(æ, y 2) dy

l'intégrale étant prise dans le sens direct. La variation ÔI a pour expression, d’après la formule générale (6),

J ol = f OÙ dy — il (dy dx — x dy),

puisque la courbe est fermée; dx et Ôy désignent les variations de x et y quand on passe d’un point (+, y) de Lau point infiniment voisin (æ + dx, y + Ôy) du nouveau contour. La première intégrale peut s’écrire, en appliquant de nouveau la formule de Green,

“ RE oUÙ = re .

et l’on a finalement (3) Meh 2e dr dy + | F(èr dy — y dx) /(D) C4 À

Par un raisonnement bien souvent employé, la formule s'étend au cas où le contour l peut être rencontré en plus de deux points par une parallèle à Ox, et même au cas où le domaine D est limité par plusieurs courbes fermées; dans la dernière intégrale, le contour total T doit être supposé parcouru dans le sens direct. On voit que ôl se compose de deux termes : l'intégrale double provenant de la variation de F et l'intégrale simple provenant de la variation du contour. Soient 4”, 6” les angles que fait avec les axes la direction extérieure de la normale; {a variation normale Ôn étant comptée positivement suivant cette direction, on a

0 0 Ccosa Ôy = ùn cos”, et, d'autre part (cf. n° 96), dx = — ds cosf”, dy = ds cos a”.

On a donc dx dy — dy dx = ds Ôn,

et l'intégrale curviligne qui représente la variation de [ provenant de la

variation du contour est égale à JL Ôn ds.

Ce résultat s'explique aisément. Supposons par exemple Ôn > 0; l’accroissement de I, quand on passe du domaine limité par l au domaine limité par l’, est égal à l'intégrale double étendue au domaine compris entre F et I’. Or, ce domaine ayant une dimension ôn infiniment petite, l'intégrale double se réduit à une intégrale curviligne le long de l'; l'élément de cette intégrale curviligne est précisément F Ôn ds, car Ôn ds représente l'aire du domaine infinitésimal limité par un arc ds de F, les normales aux deux extrémités de cet arc et l’arc correspondant de I".