Intégrales de surface. — Soit

I(æ):= f f AG: Y,3,4) dy ds +B(x,y,3,a)dz dx + C(x, y, z,1)dædy e S

une intégrale de surface étendue à une portion régulière de surface $ qui se déforme d’une manière continue, ainsi que le contour [qui limite cette surface, lorsque le paramètre « varie. Les fonctions À, B, C sont ellesmêmes continues, ainsi que toutesleurs dérivées partielles qui figurent dans le calcul. Nous prendrons pour côté positif de S le côté suivant lequel on prend l'intégrale; à ce côté correspond un sens de parcours du contour l (n° 139), que nous appellerons sens positif. Supposons la surface S définie par les formules

r=flu,v,a), y=e(uv,s), 2=4%{(uv,0),

qui fait correspondre point par point la surface S à un domaine R du plan (u, »), limité par un contour fermé L qui se déforme lui-même d’une manière continue avec «. Nous supposerons de plus les axes Ou, Ov disposés de telle façon qu’au sens positif de T correspond le sens direct sur L (n° 139). Comme les variables auxiliaires w, 6 disparaissent du résultat final, on peut toujours faire cette hypothèse.

L'intégrale de surface [(x) est égale à une intégrale double étendue au domaine R du plan (u, ») (n° 158)

pa D(Y, L) D(Ÿ, jf) [(4) = ff. LAC Pate NE TS PE 4) Du, v)

+ C(f, ©, Ÿ, 4) net | du do.

Pour avoir l'(x), il suffit d'appliquer à cette intégrale la formule (7), après avoir d’abord divisé tous les termes par 02, en y remplaçant x et y

par w et » respectivement. Cette dérivée se compose de deux parties : une intégrale double étendue à R et une intégrale curviligne prise lelong de L. Nous nous occuperons d’abord de l'intégrale double; un des termes de cette intégrale, celui, qui dépend de C, est

‘1 f jt df dG de dG ap dG\D(/f,e) Se HR

Es els desms (HU

0% dx. dy dx 03 D(u,v) DC 2) |) C> —— - du dv ii D(u, v) ÿ et les deux autres termes s’en déduisent par une permutation cireulaire sur dA 0B 9C (A, B, C)et sur (f, ©, L). En réunissant les termes en sr . —, on à OL T0 ro

en premier lieu l'intégrale double’

dA D(9,4) , dB D(Y,f) . dC D(/,e) ; jf, Ë D(u,ov) o) ND DD + pores | du de,

qui est égale à l’intégrale de surface

(fc JE PÉNTA A + Pas dx + dr dy.

L'intégrale double f [© Ares du de peut se transformer 02 Duo)

comme 1} suit. Un calcul facile montre que l’on à

9 FD(f, Tee | = 9 pee |-i Le |:

D(u,s) ou | D(a, +) dp | D(a,u) |?

la formule de Green nous donne ensuite (n° 193)

sel D(7;9) dE D(S9) y oÙ D(f,%) TIRE ce [ree dudw— f GE de AE PUR DE) du dv,