AR) © (L
Après cette transformation, les termes provenant de CG dans l'intégrale double restante sont
bus d 0€ 2 de of =
Ur d4 OV 0x Oz dx
les deux termes non écrits se déduisant du premier en permutant cireulai-
| oC 0 ! :
rement &w, #, %. Les coefficients de je et de ne sont nuls, tandis que celui
de = est df D(#Y), de DCS) 0Ÿ D(S8).
0x Du, v) da D(u,v) 0x D(u,»r)
ae 0À 0B Par raison de symétrie, les coefficients de at de ” sous:le signe ff.
OA A 0B 0B sont les mêmes, tandis que les coefficients de — sont nuls. 0y 03° 0x 03
Il reste donc dans l'(2) une nouvelle intégrale double
el of D(v,4) op D(Y, f) 0ÿ D(f,e) a NAN 0y he) FE D(u, D(u,v) 0x D(u,v) To ri] dx de,
qui est égale à l’intégrale de surface
s0b 2C\ fof DU oÙ (LD) DRE H+a)(S DEL ds de + SE dr dy).
Nous avons en outre une intégrale simple provenant de l'intégration par parties précédente, dans laquelle le terme qui contient C est
D(, 9) D(f; 9) Ron ere |
Enfin nous avons une intégrale simple provenant de la variation des contours L'et L: soient
UG== TUE. a vo L(L:,4)
les coordonnées d'un point de L exprimées au moyen du paramètre « et d’une variable auxiliaire £ qui définit la position du point sur le contour. Dans l’(a), l'intégrale simple qui provient de la variation du contour est, on vient de le voir [formule (7)|.
D(Y,%) D(YŸ, D(4, f) cDCf 9) du __-GHpR ER Je Pis 9) He D(u,v) ont "D(u, Re (Se dv à
en faisant la somme de ces deux intégrales simples, on voit que le coeffi-
cient de C sous le signe f est
Diarv) Die A D) 0 ES
D(J; 4) À de CRE 7 Mn ere hé 009 u) ;
où l’on doit remplacer w et # par us et #,. Soient (24, Yo; 20) les coordonnées du point de F qui correspond au point (wo, 9) de L; æo, Yo, %0 sont des fonctions composées de «
NE à U, Vo; a), JUS o(Uo; Pos &); éQ— Duo, Po; a);
FORMULES DE DIFFÉRENTIATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. 655 etl'on a
d%To of du , of d6 9 of dy FA (Le dus
du Ou 0x dv, da 0%” HAUT ATOS
et le coefficient de C peut encore s’écrire
do dy — do Je
da da
Par raison de symétrie, on voit en définitive que l'intégrale curviligne le
long de L qui figure dans l'expression de l'(x), peut être remplacée par une intégrale curviligne le long de F
dy dz dz dx [Il EVA PRO dSo 7, do (UP) fa(ita Rdr)+8(È ‘à da ds) dx dy +G(T ay — Par)
En ajoutant les trois intégrales (1), (IT), (HIT), on a donc enfin
Be) = EE D dd + ds de + dx dy J\s1 9
HE (FE . D + qe) (dr pds+ ds dr + Ed dy) dy d3 CNIL RE a ee Dr D) + +B(T AE ds)
ik. dx ; Yo
En multipliant les deux membres par 54, on obtient l’expression de ÔI
(9) = JL a dr ds + 3 ds de + 80 dr dy
“118 (E+S oB (S)
+ f ND de De D) BA dr chu de) (r) + C(Aro dy — Ayo dx),
EE (dx dy dz + Ôy dz dx + 03 dx dy)
ER FA Of du sa Of do VE d 2 0 loup dù dv da the :
On voit que ô[ se compose de trois termes, dont le premier provient de la variation des fonctions À, B, C avec #, le second de la déformation de la surface S et le dernier de la déformation du contour F. Soient À, 1, v
les angles de la direction positive de la normale à S avec les axes, do l'élément d’aire; on peut écrire la seconde intégrale
PNR TOI 0B dC° Le : 4 (10) D on a) (0084 ÈS 608 OS e/ Z(S) 6 x -
. ns OA Me) or D ; Jr Moy: 03 |
èn étant la projection sur la direction positive de la normale du vecteur qui joint le point (æ, y, 3) de S au point (æ + dx, y +0y, = +Ô0s) de la surface infiniment voisine S’, c’est-à-dire lé déplacement normal infinitésimal d’un point de S dans la déformation. On voit, comme plus haut, que la seconde intégrale ne dépend que de ce déplacement normal; on peut prendre pour rx la longueur infiniment petite de la normale comprise entre S et S’, ce qui revient à établir un certain mode de correspondance entre S et S’.
Quant à l'intégrale simple, on peut l’interpréter comme l'intégrale analogue de la formule (4). Soient V la longueur du vecteur d’origine (%o, Yo; 30) et de composantes À, B, C; 0 l'angle de ce vecteur avec l'élément de plan déterminé par la tangente à let le déplacement infinitésimal Ag, AVo: A23o du point (æo, Yo, 40) de T; 5, la distance du point
(to + to, Yo+AYo, %0-+ AZ)
à la tangente à l'au point (70, Yo; 0) affectée d’un signe convenable. Cette intégrale simple peut aussi s’écrire
(11) Vsin0 0, ds.
Comme dans le cas d’une intégrale curviligne, on peut faire correspondre suivant une loi arbitraire à un point de l'un point infiniment voisin du contour déformé I’. Supposons en particulier que l'on fasse correspondre au point M(%To; Jos 20) de T le point m'(æo+ ATo, Yo Yo; 30 A3o) situé dans le plan normal à T au point m; on a alors
AT = dn COS À”, Ays=0: cosu, A30 = 0 COS’, à’, étant la distance mm'et À", x”, v’ les angles de la direction 72m avec
les axes. Soient de même \', u’, v’ les angles de la direction positive de la tangente à l'avec les axes; l'intégrale (11) est encore égale à
jh [A (cos p'cosv'—cosv’cos u')+B(cosv cos" — cos?” cosv')+ C...] à, ds, r
ce qui peut encore s’écrire
fes cos 1 + B cosu + C cosvi)9, ds, UT
Â1, Hi, Vi étant les angles que fait avec les axes la normale à la bande de surface S" décrite par le contour F quand le paramètre « augmente de 4. Mais Ô}, ds représente l’élément d’aire infiniment petit décrit par l'arc ds de F quand « augmente de 94, élément que l’on peut assimiler à un rectangle. L'intégrale simple ‘précédente représente donc la valeur de l’intégrale double
J fa dr ds +8 de de + C dr dy S"
étendue à la bande de surface infiniment étroite S” suivant un côté déterminé par les explications qui précèdent.
Le résultat obtenu peut s'expliquer très aisément au moyen de la formule de Green. Supposons que l'on passe de S à S' en faisant subir à chaque point de S un déplacement infiniment petit 02 suivant la normale dans le sens positif. Alors les deux surfaces S, S’ et la bande de surface infiniment étroite S” limitent un domaine D. L'accroissement de I, provenant de la déformation de S et de T, est égal à la somme des intégrales de surface étendues à S et à S’ suivant le côté extérieur. D’après la formule de Green, cette somme est égale à l'intégrale triple
A ob di JJ£(+r+s dx dy dz,
LA
étendue au domaine D, augmentée de l'intégrale de surface hi À dy ds + B ds dx + C dx dy, (S")
prise suivant le côté intérieur de la bande S”.
Le domaine D ayant une dimension infiniment petite ôn, l'intégrale triple étendue à ce domaine se réduit à une intégrale double étendue à S, dont Na bE Ra 2 ÉS LA Pélément est { — + — + — | 5n do, car On do est l'élément de volume
0x 1)4 Oz
du cylindre droit infiniment petit compris entre S et S/, et ayant pour base un élément de S d’aire ds. De même, la surface S' ayant une dimension infiniment petite, l'intégrale double étendue à cette surface ‘se réduit à une intégrale curviligne étendue à T, dont l'élément est
(A cos + B cos + C cosv;) à! ds,
car 0, ds est l’aire de l’élément de surface compris entre les deux normales infiniment voisines aux extrémités d’un arc ds de T, et les contours TL, [”’. La formule (9) s'étend, comme au n° 1, à toute surface formée d’un nombre fini de morceaux de surfaces régulières ; si la surface est fermée, l'intégrale curviligne disparaît. On rattacherait dè même à la formule de Stokes le résultat obtenu pour la variation d’une intégrale curviligne.
