I. — LIMITES. — ENSEMBLES

De la notion du nombre entier on s'élève successivement à celles du nombre rationnel, du nombre irrationnel et du nombre algébrique. Nous supposons que le lecteur à déjà acquis ces notions, qu'il connaît aussi la théorie des opérations algébriques et lapplication des nombres à la mesure des grandeurs concrètes (!).

1. Limites. — On dit qu’un nombre variable + a pour limite un nombre fixe &, ou tend vers a, lorsque la valeur absolue de la différence x — a finit par devenir et rester plus petite que tout nombre positif donné à l'avance. Lorsque « = 0, le nombre x est dit un infiniment petit. I revient évidemment au même de dire

(!) Nous supposons un nombre irrationnel défini par la décomposition de l’ensemble des nombres rationnels en deux classes, satisfaisant à certaines conditions. À toute longueur B, n’admettant pas de commune mesure avec la longueur À choisie pour unité, correspond un nombre irrationnel £ qui est dit la mesure de B quand on prend A pour unité. Inversement, à tout nombre irrationnel z défini d’une façon arithmétique correspond une longueur B n’admettant pas de commune mesure avec la longueur choisie pour unité. Pour établir ce point essentiel, on est obligé de s’appuyer sur un postulat qui dérive de notre intuition de la ligne droite. Ce postulat peut d’ailleurs s’énoncer sous des formes un peu différentes, quoique équivalentes en réalité,