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que æ a pour limite un nombre a, ou de dire que la différence x — a est un infiniment petit. Pour prouver qu'un nombre x a pour limite le nombre a, on partage généralement la différence æ— a en un certain nombre de parties, trois par exemple, et. l’on prouve que la valeur absolue de chacune de ces parties finit

par rester plus petite que =» e étant un nombre positif arbitraire.

Ce type de démonstration, que nous emploierons souvent, est appelé quelquefois la preuve par &.

On dit aussi parfois, en se servant d’une locution incorrecte mais commode, qu’un nombre + a pour limite + ou —;ou tend vers Æ æ. Dire que x a pour limite + æ, par exemple, sign fie que le nombre x finit par devenir et rester supérieur à tout nombre positif donné à l’avance À, et non pas que la différence (+ © — x) tend vers zéro, ce qui n'aurait aucun sens.

De même, on dit souvent qu'une figure géométrique, variable de forme ou de position, a pour limite une figure fixe. Si, dans chaque cas particulier, on veutmettre un peu de précision dans cet énoncé, on ést conduit-à mesurer l'écart de la figure fixe et dela figure mobile par un ou plusieurs nombres variables, et Pénoncé précédent signifie précisément que ces nombres tendent vers zéro, dans des conditions déterminées. Prenons, par exemple, deux points voisins M, M' sur une courbe GC. On dit que la corde MM! a pour position limite la tangente MT au point M lorsque le point M’ se rapproche indéfiniment du point M sur la courbe €: Les deux droites MM’, MT se coupant en un point fixe M, ilest naturel de prendre pour mesure de leur écart l’angle aigu & que font ces deux droites, et la proposition énoncée signifie, en langage analytique, que l’angle à sera plus petit qu’un angle donné € choïsi à volonté pourvu que la distance MM' soit elle-même plus petite qu'une autre longueur 5 convenablement déterminée.

2. Coupures. — Supposons que, par un moyen quelconque, l’ensemble des nombres positifs et négatifs ait été décomposé en" deux classes À et B, de facon à satisfaire aux conditions suivantes

1° {l'existe des nombres de deux classes; 2° Tout nombre, positif ou négatif, appartient à une des deux classes ;