III, — FONCTIONS DÉFINIES COMME LIMITES

ou plus simplement | F(æ) = lim f,(æ).

Il est essentiel de remarquer que la fonction fn(æ) peut être.une fonction continue de x, quel que soit n, sans que la limite F(x) soil continue. Prenons par exemple f,(x) = x", en supposant o£x£1. Cette fonclion est continue dans l'intervalle (o, 1) quel que soit »; si n croît indéfiniment, on a lim æ"— 0, lorsque x est HHiérieUr à un, et limz"— 1, si & — 1. La fonction limite FE est donc discontinue pour x — 1.

Prenons encore ri UN 4088 VS => .

fn(x) = RFA 0 la imite F(x) est égale à + 1, pour <1, à —1 pour r>1,et à zéro pour æ — 1. La limite de (1 + æ°)"" est de même égale à zéro, si æ n’est pas nul, et égale à un, si + — 0.

Soit f(x) une fonction continue ayant pour limite une fonction continue F(x). Si f,(x) a une dérivée , (2), de l'égalité

hmfrtr)= F(x)

on ne peut pas toujours conclure qu’on a aussi HAT T'(T),

Soit par exemple nt) =\/ x? + la limite F(x) est égale à [x]. Or la dérivée f,(x+) est nulle, quel que soit n, pour æ — 0,

tandis que F(x) n’a pas de dérivée pour cette valeur de +. De sinnrT

même, la fonction f,(x) — a pour limite RE EE

7) dérivée F'(+) est nulle aussi, tandis que f,(æ) = cosnx n’a pas de

limite lorsque r augmente indéfiniment. La représentalion géomé-

trique rend ces résultats intuitifs CP

RE (!) Soit f,(æ) = [cos(ml!rz)]?", où m est un nombre entier positif déterminé,

On a p,(xz)=limf,(æ)=:, si le produit m!x est un nombre entier N, et

Pn(Z) = 0, si ce produit n’est pas un nombre entier. Tous les points æ = Fes

sont des points de discontinuité pour w,(æ). La limite de v,(æ) est la fonction d(æ) de Dirichlet br) = lim lim [cos(mlrzx}]?"}, m =

qui est égale à un pour x rationnel, et égale à zéro pour x irrationnel.

31. Convergence uniforme. — Soit /,(+) une fonction qui, dans un intervalle (&, b), tend vers une limite F(x) lorsque nr augmente indéfiniment. La différence à,(æ) = F(x) — f,(x) tend vers zéro

11 ‘ 0 , avec —; nous dirons que f,(æ) tend uniformément où converge n

uniformément vers F(x) si à tout nombre positif e on peut faire correspondre un nombre entier N tel que, pour toute valeur de nr égale ou supérieure à N, on ait

Lon(æ)| < €;

l’inégalité devant avoir lieu pour toutes les valeurs de x dans l'intervalle (a, D).

La condition que le nombre N soit indépendant de x et ne dépende que de e est essentielle dans cette définition. Pour chaque valeur de + dans l'intervalle (a, b), il est certain qu'il existe un nombre entier N, tel que [à,(x)| est inférieur à & pourvu que x soit 2N4; mais rien ne prouve a priori qu'un même nombre N, aussi grand qu’on le suppose, peut satisfaire à cette condition pour toutes les valeurs de + considérées. Pour voir qu'il n’en est pas toujours ainsi, il suffit de reprendre une des fonctions citées plus haut, la fonction x" par exemple, en supposant 0£x < 1. La différence 0,(æ) est égale en valeur absolue à x”. Pour que OA tendît uniformément vers zéro, 1l faudrait que, quel que soit le nombre positif e, il existât un nombre entier N tel que l'inégalité æ"< © fût vérifiée pour toutes les valeurs de x et de n satisfaisant

aux conditions 0 <x<1, AZN. On devrait avoir en particuher

a <e, et par suite x < &\, pour toutes les valeurs positives de x

inférieures à un; or, aussi grand que soit N, si l’on suppose es 1, É

il existe des nombres compris entre e* et l’unité. On verrait de

1 — ZT

même que la fonction ne lend pas uniformément vers

l'unité, lorsque x est compris entre zéro et un, car la différence à (x) est supérieure à x”.

Considérons encore l'expression

fnlr) nee

dont la limite, pour » infini, est F(x) — 0. Cette expression ne tend pas uniformément. vers zéro dans tout intervalle comprenant