III. — FONCTIONS DÉFINIES COMME LIMITES
la valeur zéro, dans l'intervalle (0, 1) par exemple. En effet, elle
n 1 RAS Æ pour æ — VE dans tout intervalle (0, 2), aussi pelit It
est égale à que soit le nombre positif k, elle peut donc prendre des valeurs qui augmentent indéfiniment avec 7.
Les propositions suivantes expliquent l'importance de cette
notion de convergence uniforme :
A. Stune fonction continue f,(x) tend uniformément vers une limite F(x) dans un intervalle, cette fonction F(x) est aussi une fonction continue dans cet intervalle.
Soient x et x + h deux valeurs de la variable dans l'intervalle considéré (a, b); des égalités
F(r)=/f,;(x) +0,:(x), F(æ+h)=fi(z+h)+ôi(x + h), on Lire par soustraction F(z+h)—F(x)= [f(x +h)—fi(x)] + dn(x + h)— On(æ).
Puisque f,(x) tend uniformément vers F(x), on peut prendre pour 7 un nombre assez grand pour que la valeur absolue de à,(x) soit inférieure à un nombre positif donné à l’avance e, quelle que soit + dans l'intervalle (a, b). Le nombre 7 ayant été choisi de celte façon, puisque la fonction f,(x) est continue, on peut trouver un autre nombre positif n tel que l'inégalité [| <n ait pour conséquence l’inégalité
[fax +h)—fr(r)| <e, æ et x + h étant deux valeurs de l'intervalle (a, b). La différence
F(z+h)—F(x) est la somme de trois termes dont la valeur absolue est inférieure à &. On a donc a fortiort
pourvu qu'on ait [| Ln; le nombre < étant un nombre positif arbitraire, F(x) est une fonction continue dans l'intervalle (a, b).
B. Siune fonction continue f(x) a une limite F(x) et si la dérivée f(x) tend uxironmémenr vers une fonction (x), cette fonction D(x) est la dérivée de F(x).
Posons pour abréger fnip(x)— f(x) = A (x), reel pet deux nombres entiers positifs. Nous démontrerons d’abord qu’on peut choisir pour À un nombre assez grand pour que, quel que soit p, la valeur absolue de A'(x) soit inférieure à un nombre positif donné e, pour toute valeur de x dans l'intervalle considéré (a, b). Nous avons en effet
A'(x) = fn+p(&) —fh(&) =[8(x) — fat) AE (6) — fn+p(æ)];
puisque f,(x) tend uniformément vers D(x), soit N un nombre entier positif tel que, pour 22N, la valeur absolue de (x) — f(x)
SUR TRES ve :
soit inférieure à ; dans tout l'intervalle. Il en sera de même de la
valeur absolue de D(x) — f;.,(x), quel que soit le nombre positif p, et par suite la valeur absolue de A'(x) sera inférieure à e dans tout l'intervalle (a, b).
À yant choisi pour » un nombre entier satisfaisant à la condition précédente, nous pouvons encore écrire, en désignant par x et æ + h deux valeurs quelconques de l'intervalle (a, b),
În+p(? + h) — fn+p(x) = fn(& + h)— fr(x) + A(T + h) — (a),
ou, en appliquant la formule de la moyenne à la différence A(xz+h)—A(x),
Jn+p(t +R) —furp(t) = fa(r + h) = fi(æ) + RAUX +0) (0
Dans cette relation, supposons que le nombre r reste fixe et que le nombre p augmente indéfiniment; le premier membre a pour limite F(x +) — F(x). Quant à A'(x + 0h), la valeur absolue de sa limite ne peut être supérieure à &, d’après la façon dont on a pris le nombre n. On a donc, en divisant par ,
F(æ+h)—F(x) fn(T+h)— f(x) Û
la valeur absolue de À(x, h) étant <<: on en déduit
Re
n(æ+h)— f,(x | À ne — Pate) ] + LC) — &(2)] +24, #)
