III. — FONCTIONS DÉFINIES COMME LIMITES. Fa

La valeur absolue de la différence f,(æ) — (x) est inférieure.

job) CR RQ

et par suite à :. D'autre part, puisque f,(æ) est la dérivée

de f,(æ), on peut trouver un nombre positif n tel qu’on ait

(2) h mer 2 (+ ) Ê So

pourvu qu'on ait [h|<n, x étant une valeur déterminée de l’intervalle (a, b). On aura donc aussi, pour toutes ces valeurs

de },

Pr) A 3€;

et par suite F(x) a pour dérivée P(x).

39. Séries uniformément convergentes. — D'après une remarque antérieure (n° 5), la limite d’une suite convergente peut être définie comme la somme d’une série convergente, et inversement. Il revient donc au même de définir une fonction F(x) comme limite d’une suite de fonctions f,(x), quand nr augmente indéfiniment, ou comme somme d’une série convergente. La relation F(æ)= lim f,(x) est en effet équivalente à l'égalité

(7) Fe)=fit)+[fatæ)—fi(e)]+e+ Lift) nan) +

qui exprime que la série du second membre est convergente et a pour somme F(x). Réciproquement, étant donnée une série convergente

(28) uo(T) + U(T)+...+Un(T) +...

la somme F(x) de cette série est la limite de la somme SL) = Up +'Ui+ + Un

lorsque » croît indéfiniment. Au moyen des fonctions f,(x) citées plus haut, on peut donc former des séries à termes continus, dont la somme est discontinue. Par exemple la série

(29) HD I) H., ed r(v—1)F,.,

qui est convergente dans l'intervalle (0, 1), est discontinue pour

7à CHAPITRE II. — DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIÆELLES.

æ = 1. De même la somme de la série