HE ——— LP MALE

dont le terme général peut s’écrire

il 1 (1 me C2 PEN vx (1 me do) Me 2

présente une discontinuité d’un autre genre, cär sa somme est *

nulle pour x — 0, et égale à un pour toute autre valeur de x.

La différence entre la somme F(x) de la série convergente (28) et la somme Sh(x) des (n +1) premiers termes de cette série est égale à la somme R;,(x) de la série obtenue en supprimant ces termes

(32) Rx) = uns) Pus (a) Etes

La série est dite uniformément convergente dans un intervalle (a, b) si la somme Sn(x) tend uniformément vers F(x) dans cet intervalle, c’est-à-dire si à tout nombre positif e on peut associer un nombre entier N tel que, pour toute valeur de nZN, la valeur absolue de R,(x) reste inférieure à + dans tout l'intervalle (a, b). Le théorème A conduit alors à la proposition suivante :

La somme d’une série uniformément convergente dans un intervalle (a, b), dont les termes sont des fonctions continues de la variable dans cet intervalle, est elle-méme une fonction continue de la variable fsb OT TS

(*) La condition énoncée est seulement une condition suffisante. On doit à M. Arzela une condition nécessaire et suffisante pour qu’une série à termes

continus représente une fonction continue. (Voir E. Boret, Lecons sur les fonctions de variables réelles, P. 42.)