III. — FONCTIONS DÉFINIES COMME LIMITES

En effet, la somme S,(x) d’un nombre quelconque de termes de la série est une fonction continue, si tous ces termes sont continus.

Le théorème B, appliqué aux séries, conduit de même à la nouvelle proposition :

St une série à termes continus est convergente dans un intersalle (a, b), et si la série formée par les dérivées de ses termes est elle-même uniformément convergente dans cet intervalle, la somme de la seconde série représente la dérivée de la somme de la première série.

Soient en effet F(x) et D(x) les sommes des deux séries

F(z)=u(r)+u(r)+...+un(r)+..., Pir)=u,(r)+ui(x)+...+u,(x) +...

La somme des (7 +1) premiers termes de la seconde série est égale à la dérivée de la somme S,(x) des (n + 1) premiers termes de la première série. On a donc

Fins, ta) Dir) limsS Cr);

mais, par hypothèse, S’,(æ) tend uniformément vers D(x), puisque la seconde série est uniformément convergente. On a donc, d’après

le théorème B, Pris (Cr).

On voit par là quelle est l'importance des séries uniformément convergentes. La règle suivante, d’une application fréquente, permet dans bien des cas de reconnaître si une série jouit de cette propriété. Soit |

(33) Uo(r)+u(T)+...+unr(r) +...

une série à termes variables; soit, d'autre part, (34) MR Pre nu Pa rs de

une autre série convergente dont les termes sont des nombres positifs constants. Si, pour toutes les valeurs de x d’un intervalle (a, b), on a, quel que soit n,|u,|£+v,, la première série (33) est uniformément convergente dans cet intervalle. X est clair, en eflet,

"4 CHAPITRE Il. — DERIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES.

qu'on a, pour toute valeur de x de l'intervalle, luat(T) + Un+a(æ) +... [<'Pnri+ Pnrot...,

c’est-à-dire Rh(æ)| si Rs

en désignant par R, la somme de la série (34), dont on aurait supprimé les (2 +1) premiers termes, Cette série (34) étant convergente, on peut trouver un nombre N assez grand pour qu’on ait R,<:, lorsque n est Z N. On aura donc aussi, pour ces valeurs de nr, [Rh(x)|<e, dans tout l'intervalle considéré.

Par exemple, 64, 2, ..., Pa, ... ayant toujours la même signification, la série

Vo+ PSN +... +p» sin(nx) +...

est uniformément convergente dans tout intervalle, ;

Remarque. — On définit quelquefois la convergence uniforme d’une série d’une façon un peu différente. Une série est dite uniformément convergente dans un intervalle (a, b), si à tout nombre positif e on peut faire correspondre un nombre entier. tel que la somme d’un nombre quelconque de termes à partir de u,:,(æ), telle que

Un+1(T) +... + Un+p(æ),

soit inférieure en valeur absolue à e, quels que soient le nombre positif p et la valeur de x dans l'intervalle. Il est facile de montrer la concordance des deux définitions. Supposons d’abord la série uniformément convergente comme on l'a définie plus haut, et soit 7 un nombre positif tel que les valeurs absolues de tous les restes R,(x), Rr+1(x), RS cent

inférieures à — dans tout l'intervalle (a, b). I est clair que la valeur

absolue de la somme Un+1(T) +. + unip(r) = R7 00 R;(x) sera inférieure à e dans le même intervalle. Réciproquement, supposons que la

We QE valeur absolue de Un+1(T)+...+ Un+p(æ) soit inférieure à =; quel que

soit p, dans tout l'intervalle; la valeur absolue de la somme Up +1 a) —+ 0e See Up+q(T)

sera inférieure à #, quel que soit le nombre positif 4, pourvu qu'on ait p2n. En supposant que le nombre g croit indéfiniment, le nombre p restant fixe, on en conclut que la valeur absolue de R,(æ) est inférieure à = dans l'intervalle (a, b) pourvu que p soit Zn. La série est donc uniformément convergente au premier sens du mot.