FONCTIONS DÉFINIES COMME LIMITES
33. Fonction continue sans dérivée. — Nous terminerons ce Chapitre en donnant un exemple, dû à Weierstrass, de fonction continue qui n’admet de dérivée pour aucune valeur de la variable. Soient b une constante positive inférieure à l’unité et a un nombre entier impair; la fonction F(æ), qui est égale à la somme de la série convergente
(35) F(æ) DNS cos(aræ),
est continue pour toute valeur de x, car la série est uniformément convergente dans tout intervalle. Si le produit ab est inférieur à un, il en est de même de la série formée par les dérivées; la fonction F(x) act donc une dérivée, qui est elle-même une fonction continue. Nous allons démontrer qu’il en est tout autrement si le produit ab est supérieur à une certaine limite.
Nous pouvons écrire, en désignant par 7x un nombre entier quelconque,
(36) Fa = Sn + R»;
en posant m— 1
I | S m = D bn | cos[aïr(æ+h)]—cos(a rx) |»
fi —='0 + c Rn= + LÙ bn cos[atr(x+h )]— cos(aïræ) |.
n=INn
La formule des accroissements finis appliquée à la fonction cos(arx) montre que la différence cos[a*r(x + h)]— cos(a!rx) est inférieure en valeur absolue à ra*|h|. La valeur absolue de S,, est donc inférieure à
nm — 1
rŸ mA an bn — J a EE PE ne DT 2 0 ET ab —1
ROPPRE abat maintenant une limite inférieure de ia valeur absolue de R,,, en donnant à l’accroissement À une valeur particulière. On a toujours
et, a fortiori, à rm———; si l’on suppose ab 17. Nous chercherons
ANT = Am+ Es
À 3 : . I äm étant un nombre entier et £,, élant compris entre — — et + E Nous
poserons Crise Em Em.
h = Étant
Em étant égal à Er; il est clair que À est du même signe que e, et infé-
rieur en valeur absolue à + Le nombre X étant choisi de cette façon,
on a a” (2 2 h) = am qm ré un h) = an-m FA» + Em);
a étant impair et em» — , le produit a-—"(4,, + e») est de même parité que 4h + 1 et, par suite,
cosf an r(x + h)| = (— 1)%mtt, On a aussi
cos(arx) = cos(a-Mamrz) = cos[ar-"r(a, + Em)]
= Cos(ar-mann)cos(ar-mE,,;m); aa, est de même parité que «,, et l’on a encore Cos(atrx) = (—1)Amcos(ar-mE,,r),
Nous pouvons donc écrire
+ © (— 1 )Xmt1 Re ñ > bu[i+ cos(anr-n£,, li n—=Im
tous les termes de la série étant positifs, la somme de cette série est supérieure à son AE terme et, par suite, à b” puisque Ë» est compris
Entre EL Per suite, nous avons 2 2
bm
Rul>
ou encore, en tenant compte de la valeur de ,
Sirnbe ;(ab}.
Supposons qu’on ait
il suffira pour cela qu’on ait
(37) AUOT —, et la relation (36) prouve qu’on aura alors ab —1 Æ F(tT+h)—F(>x) 4 AS HÉYENe D "C2 0ereR 7 Rail {Sn [> 3 Cape
es ci >|
Lorsque le nombre entier »m augmente indéfiniment, il en est de même de cette expression, tandis que la valeur absolue de À tend vers zéro. Il est donc possible, quelque petit que soit un nombre e, de trouver un accrois- F(æ+h)—F(x)
hR soit supérieur en valeur absolue à tout nombre donné à l'avance. La fonction F(æ) n’a donc de dérivée pour aucune valeur de #, pourvu que la relation (37) soit vérifiée.
sement À inférieur à € en valeur absolue et tel que
4. Soit p — f(w) l'équation en coordonnées polaires d'une courbe plane. Par le pôle O on mène une droite perpendiculaire au rayon vecteur OM, dont on prend l'intersection avec la tangente MT et la normale MN. On demande d'exprimer les diverses lignes OT, ON, MN, MT en fonction de f(w) et de f'(w). Quelles sont les courbes pour lesquelles l’une de ces lignes est constante ?
2. Déterminer un polynome entier en æ et du septième degré f(x), sachant que f(æ)+:1 est divisible par (æ—1)* et f(æ)—1 par (x +i)*. Généraliser la question.
3. Soient P et Q deux polynomes entiers en x tel que l’on ait
PIRE: ENNIERTÉ
on a, en désignant par » un nombre entier,
dE n dx
R. De la relation er 1 — Pa = QUI — #?) on tire, en différentiant, 0 — apP= Qi QG —a7)— 2021;
la relation (æ) montre que Q est premier avec P, et la seconde que Q divise P’.
4*, Soient R(x) un polynome du quatrième degré n'ayant que des racines
simples, et æ — y une fonction rationnelle de # telle que l’on ait
78 CHAPITRE Il. — DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES.
. 2 P . e R(£) étant un polynome du quatrième degré, et — une fonction ration-
nelle. Démontrer que cette fonction Y satisfait à une relation de la forme
dx k dt en VR(æ) VRi(e) Æ étant une constante. [ Jacogr. ]
$ U e R. On remarque que toutes les racines de l'équation R(+) — 0, qui
LE
: CAO n’annulent pas R;(t), doivent annuler UV'— VU' et PANSNEESES
5. Généralisation de la formule de Taylor.— Soit f(x) une fonction continue ainsi que f'(x), f'(æ), -.., f(x) dans un intervalle (a, b), la dérivée f (+1 (x) existant dans le même intervalle. Soit g(xæ) un polynome de degré n satisfaisant aux n 1 conditions
v(T;) NACRE Di) = f'(ær), ..) pri) (as) = f Uni(æ;),
T1, V2, :.+, © étant g valeurs de + dans l'intervalle (a, b), et la somme Mit Mit... + Ma étant égalà nr 41. Silon pose
Ê L - P@)= [Tin
Fe |
On a, c étant une valeur quelconque de + dans l'intervalle (a, b),
Flo) = 8 (0) + EE (o),
& étant une autre valeur de x dans le même intervalle.
R. On applique le théorème de Rolle à la fonction f(x) — g(x) — GC P(w) et à ses dérivées successives, la constance C étant choisie de telle façon que cette fonction soit nulle pour + = c.
6". Si l’on pose + = cosu, on a
dm-1 Ci — x?) — (— 1)—1
15 255, (27 000 ET dxm-—1 m
sin nu.
['OLINDE RoDRIGUE.] 7. Le polynome de Legendre
I d' ARR te aus 2.4.6...2n dæn
Xn = (æ?— j)n
EXERCICES. 9 satisfait à l'équation différentielle
ŒX, M ANS dx? RUES CL
La) + n(n+1)Xh= 0;
en déduire les coefficients de ce polyÿnome.
8. Les quatre fonçtions Yi sin(narcsinæ), Ya= sin(n arc cosæ), Ya= cos(n arcsinæ), Ya = cos(n arc cosx) satisfont à l'équation différentielle (i—22)y"— xy + Ry = 0.
En déduire les développements de ces fonctions lorsqu'elles se réduisent à des polynomes.
