Démontrer la formule d'Halphen

d' Les e* NN le — (— 1} 3 dx æn+i

10. Toute fonction s=g(?) + y(Z) satisfait, quelles que soient

les fonctions © et 4, à la relation rax?+2sxXy + ty?=0.

11. La fonction s=xo(x +y)+y(æ+y) satisfait, quelles que soient les fonctions ® et 4, à la relation r —25s+t—o0.

19. La fonction z = f[æ + ®(7)] satisfait à la relation ps — gr, quelles que soient les fonctions f et ®.

% les fonctions ® et 4, à la relation

13. La fonction 3 — zu ( ) + yTn (2) satisfait, quelles que soient /

ra + 2sTy +IVi+pT + qY = NZ.

14. Trouver une relation entre les dérivées du premier et du second ordre de la fonction 3 = f(æ1, u), où u = @(%3, 3); die Dos Pa-étant: trois variables indépendantes, f(æ1, u), ®(d2, 3) deux fonctions arbitraires.

45. Soient f{æ) une fonction quelconque de x et f'(æ) sa dérivée. Si l’on

pose | (x)] 2 pr) f(x) 2, on a RATES : d? © u de? 9» dx?

16". La dérivée nième d’une fonction de fonction # — p(y), où y = (x), a pour expression |

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FRE A1 jp, (UNE WP) / TN PINNRES Ô

x9 = TRE RRESRTS Yi F ap l 2 DRE PE RON € [ 112 1429 1.2...

le signe Z étant étendu à toutes les solutions en nombres entiers et posi-. tuifs de l'équation + 2] +3h+...+lk—n, et p étant égal à tj +...+k

[Faa DE BRUNO, Quarterly Journal of Mathematics, t. I, p. 359.]