I. — FONCTIONS IMPLICITES

34. Étude d'un cas particulier. — Il arrive souvent que l’on a à considérer des fonctions dont on ne possède pas l'expression explicite, mais qui sont définies par des équations non résolues. Nous commencerons par l'étude d’une seule fonction définie par une équation, en supposant, pour fixer les idées, qu'il y a deux variables indépendantes.

Soit F(x, y, 3) une fonction des variables +, V1 3, salisfaisant aux conditions suivantes : 1° elle est continue et admet une dérivée partielle continue LE dans le voisinage d'un système de valeurs x, Vs; 2; 2° F(xé,o: 30) est nul, tandis que F! ACAR AT) est différent de séro. Dans ces conditions, l'équation

admet une racine et une seule qui tend vers 2. lorsque x et y tendent respectivement vers x et Yo:

Les fonctions F et F! étant continues dans le voisinage des valeurs æ4, Yo, Zo, prenons trois nombres positifs a, b, c assez petits pour que ces fonctions soient continues dans le domaine D défini par les inégalités

læ—2ol£a, [y —ol<6, Iz:—xl£e

et que F° conserve le même signe dans ce domaine, par exemple

reste positif. Alors la fonction de z que l’on obtient en donnant

à æ et à y des valeurs déterminées, comprises dans les limites précé-

dentes, est croissante lor sque 3 cr oît de 30 € à 39 + C. En parti- PAT. 6

82 CHAPITRE Ill.

culier, la fonction F{x,, Yo, 3) est croissante dans cet intervalle;

comme elle est nulle pour 3 — 3,, elle est positive entre 3%, et 39 EC, |

et négative entre 3, — € et 3,, de sorte que, À étant un nombre

posiuf quelconque inférieur à c, on a F(Xo, Yo, 2 +hA) > 0, F(Xo, Yo: So — h) < 0.

Mais les deux fonctions F(x, 3, 55+h), F(x, y, 50 Aides variables æ et y sont continues pour æ—=%6, Y —=Yo et ne s’annulent pas pour ce système de valeurs de + et de y. On peut donc assigner un nombre positf n, au plus égal’au plus petit des deux nombres a et b, tel que les deux fonctions F(x, y, 55 + A), F(x, y, 35— A) conservent chacune leur signe lorsque les différences Æ — Lo, Y — 7, sont moindres que ñ en valeur absolue. Par suile, pour tout système de valeurs de x et de y satisfaisant aux deux conditions [S—=201< 11 Nr

on aura aussi

F(xr,7, 2+h)>o, F(x, y,20— h) <o:4

L'équation (1), où l'on donne à x et à y des valeurs quelconques comprises entre les limites précédentes, et où 3 est linconnue, a donc une racine au moins comprise entre 3, — À et 39 + h. Elle ne peut en avoir plusieurs puisque la fonction F(x, y, z) de Îla variable 3 est croissante dans cet intervalle. Le nombre À pouvant être pris aussi petit qu’on le voudra, le théorème énoncé est établi. Sa

Soient k et n un système de deux nombres positifs vérifiant les conditions qui viennent d’être précisées. La racine de l'équation (1), dont on vient de démontrer l'existence. est définie à l’intérieur d’un carré R, ayant pour centre le point M, de coordonnées (x, Yo), les côtés parallèles aux axes de coordonnées (supposés rectangulaires), et 2n pour longueur des côtés. Soient (x,, y,) les coordonnées d’un autre point M,, pris à l’intérieur de ce carré; al résulte de la démonstration que l’équation F(x,, y,, 3) = 0 admet une racine 3, et une seule comprise entre 39 — et 5 +, et par suite F'(2%1, Y1, 31) est positif. Le raisonnement qui précède s'applique donc aussi au point (æ,, y); lorsque x et y tendent respectivement vers æ, et y, l'équation (1) a une racine et une

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