I. — FONCTIONS IMPLICITES

seule qui tend vers z,. Cette racine est forcément comprise entre 30— h et 35+ h et par suite coïncide avec la première. La racine considérée est donc continue en tout point intérieur au carré R.

Cette racine n'étant définie qu'à l’intérieur du domaine R, nous n'avons ainsi qu'un élément de fonction implicite. Pour définir cette fonction en dehors du domaine KR, on procède de proche en proche de la façon suivante. Soit L un chemin continu parlant du point (%6, Yo) et aboutissant à un point (X, Y) situé en dehors du domaine R. Imaginons que les variables x et 3 varient simultanément de telle façon que le point de coordonnées (x, y) décrive le chemin L. Si l’on part du point (x, Yo) avec la valeur 3, pour z,

on à une valeur bien déterminée pour cette racine, tan! qu’on n’est pas sort du domaine R, Soient M, (Z1, Y1) un point de ce chemin intérieur à R, et z, la valeur correspondante de z; les conditions du théorème général se trouvant encore vérifiées pOur 2-77 PH —=Y:, 3 = 31, 1l existe un autre domaine R;, ayant pour centre le point M,, à l’intérieur duquel la racine qui se réduit à 3, pour D 1, Y — 1, est définie. Ce nouveau domaine R, aura en général des points extérieurs à R: en prenant de nouveau sur le chemin Lun autre point M,, extérieur à R et intérieur à R,, on pourra recommencer la même construction pour obtenir un nouveau domaine R;, à l’intérieur duquel la racine de l'équation (1) sera bien déterminée, et ainsi de suite. On pourra continuer l'opération tant qu'on n'arrivera pas à un système de valeurs pour +, y, 3, pour lequel F!= 0. Je me contenterai ici de ces indications ; nous aurons à traiter en détail dans d’autres Chapitres des questions analogues.

35. Calcul de la racine par approximations successives. —— Nous POuvons toujours ramener l'équation générale (1) à une forme particulière

84 CHAPITRE Ill.

qui se prête au calcul de la racine par approximations successives. Soit LORS M TRE TE TUE

par hypothèse, 7» n'est pas nul, et l’équation (1) est équivalente à l’équation

3 = 39 + 5: EF (æ; »,2)|.

C’est une équation de la forme