I. — LIMITES. — ENSEMBLES

3° Un nombre quelconque de la classe À est plus petit qu'un nombre quelconque de la classeiB.

De cette dernière condition il suit immédiatement que, si un nombre & est de la classe À, tout nombre inférieur à & est aussi de la classe À ; au contraire, si un nombre b est de la classe B, tout nombre supérieur à b est aussi de la classe B. Les deux classes renferment donc toujours une infinité de ‘nombres rationnels el une infinité de nombres irrationnels.

Nous allons démontrer qu'il existe un nombre L jouissant des

deux propriétés suivantes :

Fr.

1° Tout nombre inférieur à L est de la classe À; 2° Tout nombre supérieur à L est de la classe B.

L'existence de ce nombre séparatif)L est une conséquence de la notion même de nombre irrationnel. Ne considérons, en effet, dans les deux classes À et B, que les nombres rationnels. On décompose ainsi l’ensemble des nombres rationnels en deux classes (a) et (8) de telle sorte que tout nombre rationnel appartienne à l’une des deux classes et que tout nombre rationnel de la classe (x) soit plus petit qu'un nombre rationnel quelconque de la classe (6). Cela fait, il peut se présenter plusieurs cas que nous allons exa-

miner l’un après l’autre :

I. Il peut se faire qu'il existe un nombre rationnel = de la classe (o) supérieur à tous les autres nombres rationnels de la même

classe. C'est ce nombre rationnel " qui est lui-même le nombre

séparatif L. En effet, il est clair que tout nombre inférieur à est

de la classe À, puisque = est de la classe A. Tout nombre b supé-

rieur à Z est dela classe B. Gela est évident si b est rationnel; si b q

est irrationnel, prenons un nombre rationnel 7 compris entre : |

et b. Ce nombre rationnel r est de la classe B; donc il en est de

même de b.

IL. S'il existe un nombre rationnel © de la classe (8), éënférieur

à tous les autres nombres rationnels de la méme classe, on voit

de même que tous les nombres inférieurs à ” sont de la classe À, LA : est le nombre

séparatif L. |

et tous les nombres supérieurs à e de la classe B;

II. Enfin, il peut arriver qu'il n'existe aucun nombre rationnel de la classe (æ) qui soit supérieur à tous les autres nombres rationnels de la même classe, ni aucun nombre rationnel de la classe (B) qui soit plus petit que tous les autres nombres rationnels de la même classe. Cette décomposition des nombres ralionnels en deux classes (4) et (3) définit alors un nombre irrationnel i, qui est plus grand que tous les nombres rationnels de la classe (x) et plus petit que tous les nombres ralionnels de la classe (B). C’est ce nombre é qui est lè nombre séparauif. Il est clair en cflet que tous les nombres rationnels inférieurs à £ sont de la classe À, et tous les nombres rationnels supérieurs à £ de la classe B, d'après la définition même de ce nombre &. Prenons maintenant un nombre irrationnel {<< #, et soit r un nombre rationnel compris entre d etz; r étant de la classe À, il en est de même de 7. On verrait de même que tout nombre irrationnel supérieur à £ est de la classe B.

Le nombre L, dont nous venons de démontrer l’existence, s'appelle aussi une coupure. I peut appartenir à la classe À ou à la classe B:ilest de la classe À dans le premier cas examiné, et de la classe B dans le deuxième. Dans le troisième cos, 1l peut être de la classe A ou de la classe B.

Cette notion de coupure se présente dans un grand nombre de questions très élémentaires. Prenons, par exemple, la série dont le terme général est n°4; si l'on met dans une classe À tous les nombres 4 qui rendent la série divergente, dans une classe B tous les nombres à qui rendent la série convergente, on a une décomposilion de tous les nombres en deux classes, qui satisfait évidemment à toutes les conditions voulues. On a 1e1 L=1:,etce nombre L appartient à la classe A.

3. Ensembles bornés. — Nous avons déjà employé plusieurs fois le mot d'ensemble. La notion d'ensemble est une de celles quil paraît inutile de définir autrement que par des exemples. Toute collection d’un nombre fini ou infini d’objets consutue un ensemble ; tels l’ensemble des nombres entiers, l’ensemble des