LM

où f(x, y,3) et f(x, y,2)sont continues dans le voisinage des valeurs x, Yo; 20, et S’annulent pour ce système de valeurs.

D’après le théorème général, cette équation admet une racine qui tend vers 2%) lorsque æ et y tendent respectivement vers Zo et Yo. Cette racine peut être calculée par une méthode d’approximations successives analogue à celle qu’on emploie en Algèbre pour calculer une racine d’une équation du second degré très petite en valeur absolue.

Soient a, db, c trois nombres positifs tels que f(x, y, z) et f(x, y, z} soient continues dans le domaine D défini par les mêmes inégalités que plus haut; nous supposerons de plus qu'on a pris ces nombres a, b, c assez petits pour que la valeur absolue de f! soit inférieure dans ce domaine à un nombre positif K < 1. On peut toujours satisfaire à cette nouvelle condition puisque f(%0, Yo; 20) — 0. Cela étant, posons successivement

et d'une façon générale

(3) Zn = 20 f(%, Y, Zn-1) (n =1,2,3,.. ,æ).

Nous allons d’abord montrer que toutes les différences 3, — z9 restent plus petites que c en valeur absolue, pourvu que les différences 3% et y — yo soient elles-mêmes assez petites, et par conséquent cette suite d'opérations peut être prolongée indéfiniment. Soit z un nombre compris entre Z,— C et 35+ C; nous pouvons écrire

Ji, Jr3)= f(x, Pre) EVE 'OErCe J, 20 ):

et, par suite, en appliquant la formule de la moyenne et tenant compte de la condition | f(æ, y, :)| <K,

(4) Ff(z, 7,23) <| fe, Y:20|+K]3 = 3% |:

Prenons maintenant un nombre positif 4, au plus égal au plus petit des

deux nombres & et b, et tel que, le point (x, J') restant dans le domaine D’ défini par les conditions

Er e

To—h Ex £xo+ R, Yo— REY Yo+ h,