I. — FONCTIONS IMPLICITES
la valeur absolue de f(x, y, 35) soit plus petite que (1 — K)c. L'inégalité (4) montre qu’on aura aussi
ua be fr, 13)|<G—K)c+Ke=c.
- D'après cela, si le point (+, y) est un point du domaine D’, on voit de proche en proche que toutes les différences 31 — 39, > — Go hr he don. sont plus petites que c en valeur absolue, On obtient donc une suite indéfinie de fonciions définies par la loi de récurrence (3), qui sont toutes continues dans le domaine D’, et restent comprises entre 35— € et z)+ c.
La fonction z,(x, J) tend vers une limite lorsque n augmente indéfiniment. On tire en effet des relations
Zn — Z0 + f(æ, As Æn—1 ve & n—1 —= 30+ f(&, LS Zn—2); en tenant compte de la condition | f:| <K,
|&n — Zn—1 | < K | Sn—1— Zn |
ne
et, par suite,
Sn — 2n-1| <'K2-1] 3, — 20 | << K?-1(1 — K)c.
La série KA) 320 + (31— 20) +(3— 21) +... + (3n— 3n 1) +...
est donc uniformément convergente dans le domaine D' et a pour somme une fonction Z(æx, y) continue dans ce domaine. Cette fonction Z satisfait à l'équation (2), car, si le nombre x augmente indéfiniment, l'équation (3) devient à la limite
(6) Loft, v, Z).
D'ailleurs, pour + = 5.7 = Yo, toutes les fonctions 31, 3, ... se réduisent à 30. On a donc aussi Z(%o, Yo) = Zo, et la fonction Z(x,7y) satisfait à toutes les conditions de l’énoncé.
C’est la seule racine satisfaisant à ces conditions. D'une façon plus précise, lorsque le point (æ, y )est dans le domaine D’, l'équation (1) n’admet pas d'autre racine que Z qui soit comprise entre 39— c et z9<+ c. Soit en effet Z, une telle racine; des deux relations
L1= 50+ f(x, 7, Li), Zn = %0+/f(2, 7, Zn-1), on tire , Li— zn = f(x, Y:L1) = jf, J:Æn-1) et, par suite, [Liz <K|Zi— 35-11.
On aura donc aussi | Z5— 5h| < K*-1|/Z;— 3,]. La différence Z, — 3, tend donc vers zéro lorsque 7» augmente indéfiniment, et Z; est identique à Z.
