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IT est à remarquer que ce mode de calcul prouve directement l'existence de la racine et son unicité.

306. Dérivées des fonctions implicites. — La démonstration du théorème ne suppose pas l'existence des dérivées partielles F,, F,..

On peut se rendre compte aisément que l’existence de ces dérivées n'est nullement nécessaire. Soit par exemple D (Æ} une fonc- Uon continue sans dérivée prenant une valeur positive b pOur EE A;.

L'équation y?—%(x) admet deux racines qui tendent respective- |

ment vers + ÿb lorsque æ tend vers a, et qui sont aussi des | fonctions continues. Mais, si la fonction F(x,y, 3) admet des | dérivées partielles continues F°,, F,, la fonction implicite que nous venons de définir admet des dérivées partielles du premier ordre. En effet, laissons y constant et atiribuons à x un accroissement AT, auquel correspond pour 3 un accroissement A3; nous avons

F(r + Ax,y,2+ A5) — F(x, y,3) = Ar F,(x +64%,y,z+ Az) +43 F°(x, y, 3 +642) —0.

On en üre Az F,(x + 0 Ax, y, z + Az). ;

Ag — F5 (tr, Pie PONT)

NL CASA La AY

RL ns 2 RS SE à des

lorsque Ax tend vers zéro, il en est de même de Az, puisque 2 est une fonction continue de x. Le second membre tend donc vers une limite, et 3 admet une dérivée partielle par rapport à x,

(en — = —

on démontrerait de même la formule

03 F7 8 CARE W 47 F2 Remarque. ESS l'équation F — o est de degré m par rapport

à z, elle définit »m fonctions des variables + et y, en supposant

= : : APS € Ë 05:00 les m racines réelles. Les dérivées paruelles a admettent T 0Y

elles-mêmes m valeurs pour chaque système de valeurs des variables x et y; les formules précédentes donnent sans ambiguïté ces dérivées partielles, pourvu qu’on remplace 3 dans les seconds membres par la valeur de la fonction dont on cherche la dérivée.