DE VE

définit deux fonctions + 1 — RS gr ee Vie cr -yqu sont continues tant qu on a æ?+ y?< 1. Les dérivées partielles de

la première sont na mr

md 2

Vi—r— y Vire mie y

el les dérivées paruelles de la seconde s’obtiendront en changeant

les signes. On obtiendrait les mêmes valeurs en partant des formules

et y remplaçant 3 successivement par ses deux déterminations.

31. Application aux surfaces. — Si l'on regarde x, y, = comme les coordonnées cartésiennes d’un point dans l’espace, toute équation (9) F(æ,7,3)=0

représente une surface S. Soient (%5;, Yo 39) les coordonnées d’un point À de cette surface; si la fonction F est continue, ainsi que ses dérivées partielles du premier ordre dans le voisinage des valeurs &o, Vo, 30, Sans que ces trois dérivées soient nulles simultanément au point À, la surface S admet un plan tangent en A. Supposons, par exemple, que la dérivée partielle F! ne soit pas nulle pour x — %9, Y — Yo; = — 30. D’après le théorème général, l'équation de la surface peut aussi s’écrire, dans le voisinage du point À, en la supposant résolue par rapport à 3,

Le

o(x, y) étant une fonction continue, et l'équation du plan tangent en À est 03\, 03 a (5) (Ka) +(S) (Y — Yo); 0 0

03 03" SA PRE remplaçons = et et leurs valeurs tirées des formules précéor

dentes : l'équation du plan tangent devient

(10) Great

Si l’on avait (E),= o et (E)# 0, on considérerait +: et 3 comme les variables indépendantes et + comme une fonction de ces variables ; on arriverait encore à la même équalion (10) pour le plan tangent, ce qui est évident a priori d’après la symétrie du premier membre. On verrait de même que la tangente en un point (t,, Yo) d’une courbe plane représentée par Fr, es pour équation

0F oF RE 20) (D) + Nr) (Re o.

S1 l’on a à la fois 0F \ OF \ oF Ge) Gi hes

le point À est un point singulier; les tangentes aux diverses courbes situées sur la surface et passant par À forment en général un cône et non un plan. Ce cas sera étudié plus loin. QE

Dans la démonstration du théorème général sur les fonctions implicites, nous avons supposé que la dérivée F! n’était pas nulle. L’intuition géométrique fait bien comprendre pourquoi cette con=

pr

dition est essentielle. Si, en effet, on a =) — 0 et (5) 210:

3 Jo 0e 0 lé plan tangent à la surface S est parallèle à l’axe des 3; une parallèle à l’axe des 3 voisine de la droite T—Xo, Y —Yo rencontre. généralement la surface en deux points voisins du point de contact. L’équation (9) admet donc deux racines tendant vers 30 lorsque + et y tendent vers +, et Yo respectivement. | Par exemple, si l’on coupe la sphère æ2+ y?+ 722 4246 par droite H=0, 2 14e 0 y à deux valeurs de 3 tendant vers zéro en même lemps que e, réelles si e est négatif et imaginaires si € est positif.

39. Dérivées successives. — Dans les formules qui donnent les dérivées du premier ordre

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